¿Cuál es el núcleo de $R[T] \to R[w]$, $T \mapsto w$, $w=u/v$, $u,v \in R$, donde $R$ es integralmente cerrado de dominio?

Question

Estoy publicando la siguiente pregunta después de la publicación de una pregunta similar: ¿Qué es el kernel de $K[x^2,x^3][T] \to K[x]$, definido por: $T \mapsto x$?

Si $R$ es una parte integral de dominio, $w=u/v$ donde $u,v \in R$ (es decir, $w$ es en el campo de las fracciones en $R$), y $R$ es integralmente cerrado, entonces el núcleo de $R[T] \to R[w]$, $T \mapsto w$, es igual a $vT−u$? Mi pregunta: ¿Cómo se demuestra esto?

(Por supuesto, no se asume que $w$ integral $R$, ya que si lo era, por la suposición de que $R$ es integralmente cerrado, nos gustaría obtener de inmediato $w \in R$, que no es interesante).

Answer 1

En realidad, el núcleo es generada por todos los polinomios de la forma$aX-b$$b=aw$.

Vamos $f\in R[X]$, $f\ne0$ que pertenece al núcleo de la $R$-homomorphism $\phi:R[X]\to R[w]$ definido por $\phi(X)=w$. Escribir $f(X)=a_0+a_1X+\cdots+a_nX^n$. De $f(w)=0$ tenemos que $a_nw$ integral $R$ por lo tanto $b_n=a_nw\in R$. Ahora vamos a $f_1(X)=f(X)-X^{n-1}(a_nX-b_n)$. Observe que $f_1\in\ker\phi$, e $\deg f_1<\deg f$ y proceder por inducción en $n$.