He estado leyendo algunos de categoría básica de la teoría, y estoy un poco confundido acerca de la definición de un cocone. He estado mirando las notas aquí - https://www.dpmms.cam.ac.uk/~jg352/pdf/CategoryTheoryNotes.pdf - específicamente, en las páginas 15.
Un cono con vértice $A$ sobre el diagrama $D: J \to C$ se define para ser el objeto de $A$ con un conjunto de mapas de $\mu_j: A \to D(j)$ s.t. para cada uno de los morfismos $\alpha: j \to j'$$J$, el siguiente diagrama conmuta: $$ \begin{array}{ccc} &A & \\ \swarrow&&\searrow\\ D(j)&\rightarrow&D(j') \end{array} $$
Estoy bien con esto, pero no estoy muy seguro de cómo una cocone está definido. Mi pregunta es, cual de las dos siguientes es la correcta:
Defn 1: Sólo revertir todas las flechas de arriba, así que bajo la mapa, al contrario de la categoría de cocones ir tocones y viceversa. Tenga en cuenta que el diagrama en el frente de la categoría, a continuación, se ha convertido en un functor contravariante (como flechas en el diagrama se invierten).
Defn 2: Igual que la definición del cono, pero el objeto de $A$ ahora se encuentra "por debajo" del diagrama, y el triángulo que tiene viajar es $$ \begin{array}{ccc} D(j)&\rightarrow&D(j')\\ \searrow&&\swarrow\\ &A& \end{array} $$
que no es lo mismo que invertir todas las flechas en el triángulo de arriba.
La segunda definición parece ser lo que las notas sugieren que cuando dicen una cocone es un "cono de bajo D", pero esto parece menos agradable para mí, ya que no de malla muy bien con el opuesto de la categoría. Pero yo no lo veo una buena forma de definir el dual de un cono sin tener que cambiar la definición del diagrama en el frente de la categoría (y lo hacen en un functor contravariante).
Supongo que mi pregunta es equivalente a "hacer colimits siempre se convierten en límites a la hora de ir al frente de la categoría?". Si Defn 1 es correcta, entonces sí, si Defn 2 es correcta, entonces no creo que sea así en general.
Gracias por la ayuda.
