Sea F un campo finito de característica $p \in \{2, 3, 5\}$. Considerar la quaternionic anillo, $Q_F = \{a_1 + a_ii + a_j j + a_kk|a_1, a_i, a_j, a_k \in F\}$. Demostrar que $Q_F$ no es un anillo de división.
No estoy seguro de lo que necesito mostrar que $Q_F$ no es un anillo de división. Todo lo que sé hasta ahora es: división de anillo es un grupo multiplicativo y $Q_F$ tiene un multiplicativo propiedades. Así que creo que necesito mostrar $Q_F$ no es un grupo multiplicativo.
Intento: Vamos A $\alpha=1+i,\beta=1+i+j\in Q_F$. Entonces $$\begin{align*} \alpha\beta&=(1+i)(1+i+j)\\ &=(1-1)+(1+1)i+(1+1)j+(1-1)k\\ &=2i+2j \end{align*}$$
Con la característica $p=2$, $\alpha\beta=0$.
Con la característica $p=3$, $\alpha\beta=2(i+j)$.
Con la característica $p=5$, $\alpha\beta=3(i+j)$.
Desde mi argumento, no veo nada que me pueda decir $Q_F$ no es un grupo multiplicativo.
Puede alguien darme un golpe para hacer esta pregunta? Gracias!
Actualización: Como sigo trabajando con el método que tenemos los siguientes:
$$\begin{align*} \alpha\gamma&=(1+i)(i+2j)\\ &=(-1)+(1)i+(2)j+(2)k\\ &=-1+i+2j+2k \end{align*}$$
$p=2$, $\alpha\gamma=1+i$. $p=3$, $\alpha\gamma=2+i+2j+2k$. $p=5$, $\alpha\gamma=4+i+2j+2k$.
$$\begin{align*} \beta\gamma&=(1+i+j)(i+2j)\\ &=(-1-2)+(1)i+(2)j+(2-1)k\\ &=-3+i+2j+k \end{align*}$$
$p=2$, $\beta\gamma=1+i+k$. $p=3$, $\beta\gamma=i+2j+k$. $p=5$, $\beta\gamma=2+i+2j+k$.
No tengo ninguna divisores de cero, me puede hacer algún error en alguna parte, tengo que llegar divisores de cero al $p=3,5$ también.
