Normal transformación

Question

Deje $V$ ser finito-dimensional espacio vectorial sobre $\Bbb C$ $T:V\to V$ ser una transformación lineal. Asumir que cada vector propio de a $T$ también es un autovector de a $T^*$. Tengo que demostrar que $TT^*=T^*T$ ($T$ es una parte normal de la transformación). Me las he arreglado para mostrar que, para todas las $V$ subespacios de vectores propios es el caso. Y si me llaman el lapso de todos los vectores propios $W$, en el lapso de no-vectores propios ($W^\perp$) es ortogonal a ella, el uso que le he demostrado que $W^\perp$ es un invariante de $T$ $T^*$ y que es donde estoy atascado. Se siente como que está cerca de la final, igual que hay una última cosa que falta. Gracias!

Answer 1

Ya que estamos trabajando sobre una compleja interior producto de espacio es suficiente para mostrar que $V$ tiene un ortonormales base que consta de los vectores propios de a $T$. De nuevo, ya que estamos trabajando sobre $\mathbb{C}$, sabemos que el polinomio característico de a $T$ se divide. Por lo tanto, por el teorema de Schur no sale de una base ortonormales $\{v_1,\dots,v_n\}$ de manera tal que la representación de la matriz de $T$, decir $A$, es triangular superior. Por definición, tenemos que $v_1$ es un autovector de a $T$. Hemos de probar que cada una de las $v_i$ también es un autovector por la inducción. Supongamos que $v_1,\dots,v_{k-1}$ son vectores propios para algunos $k$. Para $j<k$, vamos a $\lambda_j$ ser el vector propio correspondiente a $v_j$. Desde $A$ es triangular superior $$T(v_k)=A_{1k}v_1+A_{2k}v_2+\dots+A_{kk}v_k.$$ Since our basis is orthonormal we have that $$A_{jk}=\langle T(v_k),v_j\rangle=\langle v_k, T^\ast(v_j)\rangle=\langle v_k,\eta_j v_j\rangle=\overline{\eta_j}\langle v_k,v_j\rangle=0$$where $\eta_j$ is the eigenvalue of $T^\ast$ corresponding to $v_j$. Since this holds for all $j<k$ it must be that $T(v_k)=A_{kk}v_k$.