Prueba para el valor propio correspondiente

Question

Si x es un vector propio de una matriz A, demuestre que su correspondiente valor propio viene dado por $\lambda=\dfrac{Ax\cdot x}{x\cdot x}$

Intenté empezar desde $(A-\lambda{I})x=0$ .

$Ax-\lambda{Ix}=0$

$\lambda{Ix}=Ax$

$\lambda=\dfrac{Ax}{Ix}$ . Esto ahora es un poco confuso. ¿Alguna ayuda?

Answer 1

La identidad que tienes $\lambda=\frac{Ax}{Ix}$ no sólo es confuso, sino también un equivocado expresión en general ya que no se puede dividir un vector por otro.

Concéntrese en lo que quiere para demostrar $$ \lambda=\frac{Ax\cdot x}{x\cdot x} $$ lo que equivale a $$ Ax\cdot x=\lambda (x\cdot x). $$ Todo lo que necesitas aquí es observar que $(\lambda x)\cdot x=\lambda(x\cdot x)$ y la definición de los vectores propios: $Ax=\lambda x$ .

Answer 2

Su intuición es correcta, es una buena idea comenzar con la definición de un valor propio, es decir $A x = \lambda x$ . Ahora el problema es que en ambos lados de la ecuación tienes vectores, por lo que no puedes dividir por $x$ . La idea es "transformar" la ecuación en una ecuación que sólo implique cantidades escalares. Una buena manera de hacerlo es tomar el producto escalar con otro vector $y$ es decir, (escribiré el producto escalar $x \cdot y$ como $\langle x, y \rangle$ para no confundirla con la multiplicación normal de los números reales) $$ \langle Ax, y \rangle = \lambda \langle x,y \rangle. $$ Ahora surge la pregunta: ¿qué $y$ ¿debemos elegir? Para resolver la ecuación de $\lambda$ obviamente queremos dividir por $\langle x,y \rangle$ (¡que ya es un número real!). Pero este número podría ser cero si elegimos el vector equivocado $y$ (por ejemplo, si $y = 0$ o $y \perp x$ ). Así que tenemos que asegurarnos de que $\langle x,y \rangle \neq 0$ . Lo único que sabemos es que $x$ es un vector propio. Pero por definición esto significa que $x \neq 0$ y por las propiedades de los productos escalares, se sabe que $\langle x, x \rangle \neq 0$ si y sólo si $x \neq 0$ .

Así que $y = x$ ¡parece una buena elección!

Entonces obtenemos $$ \langle Ax, x \rangle = \lambda \langle x,x \rangle \Rightarrow \lambda = \frac{\langle Ax, x \rangle}{\langle x,x \rangle} $$ o en su notación $$ \lambda = \frac{Ax \cdot x}{x \cdot x}. $$

Answer 3

Para evitar la confusión entre la multiplicación escalar y la vectorial, utilizo la notación $\langle x,y\rangle$ para denotar el producto interior $x\cdot y$ entre vectores $x$ y $y$ en lo siguiente.

Si $x$ es un vector propio de $A$ al valor propio $\lambda$ entonces $Ax = \lambda \cdot x$ . Tomando el producto interior con $x$ Esto implica $\langle Ax,x\rangle= \lambda \cdot \langle x, x\rangle$ que es un escalar. Por lo tanto, $$\frac{\langle Ax,x\rangle}{\langle x,x\rangle} = \frac{\langle \lambda\cdot x, x\rangle }{\langle x,x\rangle}= \frac{\lambda\cdot\langle x,x\rangle}{\langle x,x\rangle} = \lambda.$$

Observe que en su argumento divide por el vector $I x$ , que es algo que no puede ¡hacer! Tomando el producto interior con $x$ elude este problema, a la vez que preserva su intuición de la prueba.

Answer 4

Si $x$ es un vector propio de $A$ entonces satisface, con $\lambda$ su valor propio asociado :

$Ax = \lambda x$

A partir de ahí, es fácil ver que :

$${Ax\cdot x\over x \cdot x} = {\lambda x\cdot x\over x\cdot x} = \lambda$$