Ayudar a la comprensión de una desigualdad en Rudin la construcción de la medida de Lebesgue

Question

Estoy teniendo problemas para entender una desigualdad en el Teorema 2.20 de "Real y el Análisis Complejo."

Rudin indica que si $f\in\operatorname{C}_c(\mathbb{R}^k)$ , $f$ es real, $W$ es un abierto de k-célula que contiene el apoyo de $f$, e $\epsilon>0$ , de tal manera que

(i) $g$ $h$ son constantes en cada caja pertenecientes a $\Omega_N$

(ii) $g\leq f\leq h$

(iii) $h-g<\epsilon$

Si $n>N$, de Propiedad 2.19(c) muestra que

$$\Lambda_N g = \Lambda_n g \leq \Lambda_n f \leq \Lambda_n h = \Lambda_N h$$

Aquí $\Lambda$ se define como

$$\Lambda_n f := \lim\limits_{n \to \infty} 2^{-nk} \sum\limits_{x \in P_n} f(x)$$

$\Omega_n$ es

la colección de todas las $2^{-n}$ cajas con esquinas en $P_n$

$P_n$ es

el conjunto de todos los $x\in\mathbb{R^k}$ cuyas coordenadas son múltiplos enteros de $2^{-n}$

Propiedad 2.19 (c) es

Para $\{\Omega_n\}$ si $Q\in \Omega_r$, después vol$(Q)=2^{-rk}$; y si $n>r$, la $P_n$ tiene exactamente $2^{(n-r)k}$ $Q$

Lo que no entiendo es cómo la Propiedad 2.19(c) implica que $\Lambda_N g = \Lambda_n g$ and $\Lambda_N h = \Lambda_n h$

Answer 1

Al calcular los $\Lambda_ng $, se está agregando a lo largo de más cajas, yo.e, que son la subdivisión de las cajas de $\Omega_n $. Pero $g $ es constante a lo largo de los cuadros adicionales. Concretamente, una fija $x\in P_N $ corresponde a algún cuadro de $Q\in\Omega_N $; luego, como $g $ es constante en $Q $, $$ 2^{-nk}\sum_{y\en P_n\cap Q}g (y)=2^{-nk}g (x)\sum_{y\en P_n\cap Q}1 =2^{-nk}2^{(n-N)k}g (x)=2^{-Nk}g (x). $$