Propiedades de proyección en el espacio de Hilbert

Question

Sea $L$ y $M$ sean subespacios cerrados de un espacio de Hilbert $H$ y $P_L,P_M\in \mathcal{L}(H,H)$ son ortoproyecciones a $L$ y $M$ . Quiero probar que entonces $$P_M\geq P_L \Leftrightarrow L\subset M.$$

Pedido parcial $P_M\geq P_L$ se define como $$P_M\geq P_L \Leftrightarrow ((P_M-P_L)x,x)\geq 0 \ \ \ \forall x\in X.$$

¿Alguna idea?

Answer 1

Obsérvese en primer lugar que una proyección $P\in\mathcal L(H)$ es autoadjunto si $P$ es una proyección ortogonal. Pues si $P^2=P$ y $\ker P\perp P(H)$ entonces para $f,g\in H$ tenemos \begin{align} \langle Pf, g \rangle &= \langle Pf, Pg + (g - Pg) \rangle\\ &= \langle Pf, Pg \rangle\\ &= \langle Pf + (f-Pf), Pg \rangle\\ &= \langle f, Pg \rangle, \end{align} para que $P=P^*$ . (La inversa no es necesaria para este ejercicio, así que omitiré la prueba).

Supongamos que $P_M-P_L$ es un operador positivo y $f\in L$ sea distinto de cero. Entonces $P_Lf=f$ Así que $$0\leqslant \langle (P_m-P_L)f,f\rangle=\langle P_mf-f,f\rangle.$$ De ello se deduce que \begin{align} \|P_Mf-f\|^2 &= \langle P_M-f,P_Mf-f\rangle\\ &= \langle P_Mf-f, P_Mf\rangle - \langle P_Mf-f, f\rangle\\ &\leqslant \langle P_Mf-f, P_Mf\rangle\\ &= \langle P_Mf,P_Mf\rangle -\langle f,P_Mf\rangle\\ &= \langle f, P_M^2f\rangle -\langle f,P_Mf\rangle\\ &=0, \end{align} y por lo tanto $P_Mf=f$ Eso es, $f\in M$ .