En primer lugar, hacer las sustituciones
$$
x=
\frac{a}{b+c},
\quad
y=
\frac{b}{a+c},
\quad
z=
\frac{c}{a+b}.
$$
La estrategia será la de reducir el problema a una desigualdad en la única variable de la $t=(xyz)^{1/3}$. Tenga en cuenta que $xy+yz+xz+2xyz=1$, y la desigualdad se ha demostrado es
$$
\frac{16}{27}\left(x+y+z\right)^3+(xyz)^{1/3}\geq\frac{5}{2}.
$$
Ahora
$$
\frac{(x+y+z)^2}{3}\geq xy+yz+xz=1-2xyz
$$
y también se $x+y+z\geq3/2$ por Nesbitt la desigualdad. Por lo tanto,
$$
\frac{16}{27}(x+y+z)^3=\frac{16}{9}\cdot(x+y+z)\cdot\frac{(x+y+z)^2}{3}\geq\frac{8}{3}(1-2xyz),
$$
y es suficiente para demostrar la desigualdad
$$
\frac{8}{3}(1-2xyz)+(xyz)^{1/3}\geq\frac{5}{2}.
$$
Ahora $xyz\leq1/8$, porque AM-GM da
$8abc\leq (a+b)(b+c)(a+c)$ mediante la agrupación de los pares en el lado derecho (por ejemplo, $2abc\leq a^2b+bc^2$). Así, mediante el establecimiento $t=(xyz)^{1/3}$, se reduce a probar que el polinomio
$$
f(t):=
8\left(\frac{1-2t^3}{3}\right)+t-\frac{5}{2}
=
\frac{1}{6}+t-\frac{16}{3}t^3.
$$
es no negativa para $t\in[0,1/2]$. Desde $f(0)>0$$f(1/2)=0$, podemos ver que $f(c)>0$ siempre $c$ es un punto crítico de $f$. Pero $f'(t)=1-16t^2$, lo que ha $c=1/4$ como su único cero en $[0,1/2]$. Como $f(1/4)=4/12>0$, hemos terminado.
