superficie acostado sobre un lado de la otra superficie

Question

Yo estaba estudiando el fuerte principio del máximo para las superficies mínimas y llegó a través de la afirmación de que la superficie se encuentra en un lado de la superficie B. ¿Puede usted decirme por favor qué significa matemáticamente?

El Teorema de la Declaración es: "Si $\Sigma_1 ,\Sigma_2 \subset \mathbb{R}^n $ se completa conectado mínima hypersurfaces (sin límites), $\Sigma_1 \cap \Sigma_2 \neq \emptyset, $ $\Sigma_2$ se encuentra en un lado de la $\Sigma_1$,$\Sigma_1 = \Sigma_2$.

Answer 1

Lo que usted necesita es la versión de Jordan-Brouwer teorema de separación, en el que uno se da $\Sigma \subset \mathbb{R}^n$ conectado hipersuperficie. El teorema dice que si $\Sigma$ es compacto, a continuación, $\mathbb{R}^n-\Sigma$ tiene exactamente dos componentes $U,V$ y sus cierres se $\overline U = U \cup \Sigma$$\overline V = V \cup \Sigma$.

El teorema que usted necesita es más general, teniendo la misma conclusión, pero más débil de la hipótesis. No estoy seguro de la mejor hipótesis. Usted definitivamente quiere iniciar una hipersuperficie $\Sigma \subset \mathbb{R}^n$, pero también queremos debilitar la hipótesis de compacidad, desde un mínimo de hypersurfaces nunca compacto. El requisito mínimo es que $\Sigma$ ser cerrado en $\mathbb{R}^n$; estoy bastante seguro de que es suficiente en un puramente topológico contexto, pero soy un poco inseguro, y no podría ser más fácil versiones con la hipótesis de intermedio de la fuerza. La "completa" hipótesis " en el citado teorema es probablemente lo que vamos a usar para este propósito.

Así, en su citado teorema, una vez que se han apropiado de las hipótesis que conducen a la conclusión de que $\mathbb{R}^n - \Sigma_1$ tiene dos componentes $U,V$, luego de que los dos "lados" de $\Sigma_1$, son los dos conjuntos de $\overline U = U \cup \Sigma_1$$\overline V = V \cup \Sigma_1$. Su teorema dice que si $\Sigma_2$ es un subconjunto de uno de estos dos lados, a continuación,$\Sigma_2=\Sigma_1$.