¿Conclusión sobre la definición límite de e^a para una secuencia de números reales {a_n} convergente a a?

Question

He visto este hecho en varias demostraciones, pero nunca he visto una prueba de ello.

Creo que la afirmación es: Si $\{a_n\}$ es una sucesión de números reales tal que $a_n \rightarrow a$ finito, entonces $(1 + \frac{a_n}{n} )^n \rightarrow e^a $ .

Agradecemos cualquier ayuda o referencia.

Answer 1

Un planteamiento sencillo parte del hecho de que $\mathrm e^{x-x^2}\leqslant1+x\leqslant\mathrm e^x$ para cada $x\geqslant-\frac12$ y que $\frac{a_n}n\geqslant-\frac12$ para cada $n$ suficientemente grande, por lo que, aplicando esto a $x=\frac{a_n}n$ para cada $n$ tal que $\frac{a_n}n\geqslant-\frac12$ produce $$ \mathrm e^{nx-nx^2}\leqslant\left(1+\frac{a_n}n\right)^n\leqslant\mathrm e^{nx}, $$ es decir, $$ \mathrm e^{a_n-a_n^2/n}\leqslant\left(1+\frac{a_n}n\right)^n\leqslant\mathrm e^{a_n}. $$ Desde $a_n\to a$ y $\frac{a_n^2}n\to0$ tanto el LHS como el RHS convergen a $\mathrm e^a$ .

Answer 2

No se necesita ninguna estimación especial.

En es correcto para concluir que $f_n(a_n)$ converge a $f(a)$ en este caso, porque para $n$ (de hecho para $n > |a|$ ), todos los $f_n$ son monótonas en un intervalo que contiene $a$ . El principio es

si $f_n(x) \to f(x)$ para todos $x$ el límite $f(x)$ es continua en $a$ y existe un $\delta > 0$ de forma que $f_n$ son monótonas en $(a - \delta, a+ \delta)$ para $n \geq n_0$ entonces $f_n(a_n) \to f(a)$ para cualquier secuencia $a_n$ convergiendo hacia $a$ .

Como prueba, tomemos $\epsilon$ un parámetro positivo que tiende a $0$ , $n$ lo suficientemente grande como para que $a_n$ está en un pequeño subintervalo $(a- \epsilon,a+\epsilon)$ del intervalo de monotonicidad, entonces $f_n(a_n)$ está acotado entre el mínimo y el máximo de $(f_n(a - \epsilon), f_n(a+\epsilon))$ por lo que está asintóticamente acotada entre $f(a - \epsilon)$ y $f(a + \epsilon)$ . Este sándwich de límites superior e inferior converge a $f(a)$ para pequeños $\epsilon$ .

Continuidad de $f_n(x)$ no se utilizó, sólo la continuidad en $x=a$ del límite $f(x)$ .

Answer 3

Esto se llama continuidad secuencial, una de las formas equivalentes de continuidad que se aplica a los números Reales , que dice : $x_n\rightarrow x$ entonces $f(x_n)\rightarrow f(x) $ es decir, si la secuencia $x_n$ converge a $x$ entonces la secuencia $f(x_n)$ converge a $f(x)$ . Tenga en cuenta que hay espacios en los que la continuidad y la continuidad secuencial no son equivalentes. ¿Puede decir cómo se aplica aquí?

EDIT: Más formalmente: si $a_n \rightarrow a$ tenemos, $Lim_{n\rightarrow \infty} (1+a_n/n)^n=e^{Lim_n\rightarrow \infty a_n}=e^a$

EDIT 2: El argumento anterior es correcto, pero incompleto. Incluiré una justificación cuando pueda hacerla rigurosa, o la borraré si no puedo hacerlo en un par de días.

Hay un argumento sencillo para explicar por qué $(1+a_n/n)^n=e^{Lim_n\rightarrow \infty a_n}=e^a$ Básicamente, $a_n$ convergerá a $a$ y luego $a_n$ se convertirá en una constante, de modo que la situación se reduce a la de $Lim_{n\rightarrow \infty}(1+x/n)^n=e^x$ :

Para $\epsilon>0$ podemos encontrar un entero positivo $N$ con $|a_n-a|< \epsilon$ para todos $n>N$ y existe un número entero positivo $N'$ con $|(1+x/n)^n-e^x |<\epsilon$ para todos $n>N'$ . Ahora, elija $N_2>$ $Max$ { ${N,N'}$ }. Entonces $$(1+(a-\epsilon)/N_2)^{N_2} <(1+a/{N_2})^{N_2}< (1+(a+\epsilon)/N_2)^{N_2}$$ Ahora dejemos que $N_2$ se hacen aún mayores, de modo que $\epsilon$ se acerca cada vez más a $0$ y los lados izquierdo y derecho de la desigualdad apretarán el término medio para que sea $e^a$