Sé que el estimador de Kaplan-Meier está sesgado porque mi libro de texto lo dice. Sin embargo, no entiendo por qué la siguiente prueba no funciona:
Dejemos que $\hat{S}(t)$ sea la estimación de Kaplan-Meier para la función de supervivencia $S(t)\equiv P(T_i > t)$ donde $T_i$ son tiempos de fallo iid. Sea $\hat{\Lambda}(u)$ sea el estimador de Nelson-Aalen para la función de riesgo acumulado $\Lambda(u)$ .
Se sabe que $\frac{\hat{S}(t)}{S(t)}-1 = -\int\limits_{0}^{t}\frac{\hat{S}(u^-)}{S(u)}d\{\hat{\Lambda}(u)-\Lambda(u)\}$ .
Ahora, $\int\limits_{0}^{t}\frac{\hat{S}(u^-)}{S(u)}d\{\hat{\Lambda}(u)-\Lambda(u)\}$ es una martingala porque $\hat{\Lambda}(u)-\Lambda(u)$ es una martingala y porque $\frac{\hat{S}(u^-)}{S(u)}$ es un proceso predecible.
Así que, $\mathbb{E}[\frac{\hat{S}(t)}{S(t)}-1]=0 \Rightarrow \mathbb{E}[\frac{\hat{S}(t)}{S(t)}]=1 \Rightarrow \mathbb{E}[\hat{S}(t)]={S(t)}$ desde $S(t)$ es una función no estocástica.