¿Por qué no funciona mi prueba para demostrar que la estimación de Kaplan-Meier es insesgada?

Question

Sé que el estimador de Kaplan-Meier está sesgado porque mi libro de texto lo dice. Sin embargo, no entiendo por qué la siguiente prueba no funciona:

Dejemos que $\hat{S}(t)$ sea la estimación de Kaplan-Meier para la función de supervivencia $S(t)\equiv P(T_i > t)$ donde $T_i$ son tiempos de fallo iid. Sea $\hat{\Lambda}(u)$ sea el estimador de Nelson-Aalen para la función de riesgo acumulado $\Lambda(u)$ .

Se sabe que $\frac{\hat{S}(t)}{S(t)}-1 = -\int\limits_{0}^{t}\frac{\hat{S}(u^-)}{S(u)}d\{\hat{\Lambda}(u)-\Lambda(u)\}$ .

Ahora, $\int\limits_{0}^{t}\frac{\hat{S}(u^-)}{S(u)}d\{\hat{\Lambda}(u)-\Lambda(u)\}$ es una martingala porque $\hat{\Lambda}(u)-\Lambda(u)$ es una martingala y porque $\frac{\hat{S}(u^-)}{S(u)}$ es un proceso predecible.

Así que, $\mathbb{E}[\frac{\hat{S}(t)}{S(t)}-1]=0 \Rightarrow \mathbb{E}[\frac{\hat{S}(t)}{S(t)}]=1 \Rightarrow \mathbb{E}[\hat{S}(t)]={S(t)}$ desde $S(t)$ es una función no estocástica.

Answer 1

El fallo de su argumento es que $\hat\Lambda(t)-\Lambda(t)$ no es una martingala para todos los tiempos $t$ . Sólo es una martingala hasta el momento $T$ cuando el experimento termina, es decir, cuando el último superviviente muere o es censurado (es decir, abandona el estudio). Después de eso, $\Lambda(t)$ sigue aumentando, pero $\hat\Lambda(t)$ no lo hace.

Ahora, si el último sobreviviente de la muestra realmente muere, entonces en este punto no importa que $\hat\Lambda(t)-\Lambda(t)$ deja de ser una martingala, porque $\hat S(t)=0$ y por lo tanto $\hat S(t)/S(t)$ seguirá siendo una martingala. Así que sin datos censurados, el estimador K-M es de hecho insesgado (es bastante fácil demostrarlo directamente sin procesos estocásticos).

Sin embargo, si existe la censura, se plantea la posibilidad de que el último superviviente se censure en lugar de morir. En este caso $\hat S(t)$ nunca bajará a cero, por lo que $\hat S(t)/S(t)$ dejará de ser una martingala en el momento $T$ . Esta posibilidad -que el último superviviente se censure- es la fuente de sesgo en el estimador K-M.