Hay un contraejemplo? $\forall p \in \Bbb P\ ,\ p\gt 61\ ,\ \exists\ r1,r2\ \in \{\ Primitive\ Roots\ Modulo\ p\ \}\ /\ r1+r2 = NextPrime(p)$

Question

Esta es la cosa más rara que he visto hasta ahora! Tome el conjunto de Raíces Primitivas Módulo p (enlace a la definición de aquí) de un número primo $p$, $Pr(p)$. Para aquellos primos $p \gt 61$ siempre hay un par de raíces primitivas $r1$ $r2$ $Pr(p)$ cuya suma es el siguiente primo del actual primer $p$, voy a llamarlo $\mathcal{N}(p)$.

(1) $\forall p \in \Bbb P\ ,\ p\gt 61\ ,\ \exists\ r1,r2\ \in Pr(p)\ /\ r1+r2 = \mathcal{N}(p)$

He probado esto con Python, en el intervalo de $[62,10000]$ ser siempre cierto.

E. g.:

$p=67\ ,\ Pr(67)=\{2,7,11,12,13,18,20,28,31,32,34,41,44,46,48,50,51,57,61,63\}$

$r_1=20$ y $r_2=51\ $,$\ r_1 + r_2 = 20+51=\mathcal{N}(67) = 71$

$p=499\ ,\ Pr(499)=\{7, 10, 11, 15, 17, 19, 23, 28, 35, 40, 41, 42, 44, 50, 53, 58, 60, 61, 63, 65, 66, 68, 71, 75, 76, 79, 85, 86, 87, 89, 90, 92, 94, 95, 98, 99, 102, 112, 113, 114, 129, 135, 138, 141, 146, 147, 153, 157, 160, 163, 164, 168, 171, 173, 176, 179, 182, 185, 193, 200, 202, 205, 206, 207, 210, 212, 214, 217, 218, 219, 223, 229, 232, 238, 240, 241, 242, 244, 246, 252, 260, 262, 264, 266, 271, 272, 273, 274, 275, 278, 284, 286, 295, 300, 301, 302, 303, 304, 309, 310, 311, 315, 316, 318, 319, 321, 325, 327, 329, 340, 341, 344, 347, 348, 349, 356, 357, 362, 363, 366, 367, 368, 369, 373, 376, 377, 378, 379, 380, 383, 390, 392, 393, 394, 396, 398, 399, 408, 411, 415, 417, 419, 426, 429, 430, 442, 443, 448, 450, 452, 453, 454, 456, 461, 465, 466, 469, 470, 474, 477, 478, 479, 485, 494\}$

$r_1=42$ y $r_2=461\ $,$\ r_1 + r_2 = 42+461=\mathcal{N}(499) = 503$

Para $p \in [1,61]$ sólo hay cinco contraejemplos: $\{2,3,5,7,61\}$ y para el resto de los números primos, la observación es cierto.

Me gustaría compartir con usted las siguientes preguntas:

1 ¿tiene sentido este tipo de propiedad, teniendo en cuenta la definición de raíz primitiva módulo p?

2 es sólo una coincidencia (probabilístico) debido a que el tamaño del conjunto de raíces Pr(p) obtiene lo suficientemente grande como para contener al menos un par de raíces primitivas cumplir con (1)? O es debido a la Fuerte ley de los pequeños números (acabo de probar $p \le 10000$)?

Gracias!

Answer 1

Sí, es probabilístico (en otras palabras, no tiene nada que ver con las raíces primitivas o el próximo primer).

El número de raíces primitivas modulo $p$ $0$ $p$ $\phi(p-1) \gtrsim e^{-\gamma}p/\log\log p$ (con un conocido límite inferior). En otras palabras, la "probabilidad" de que un elegido al azar entero entre $0$ $p$ es una raíz primitiva módulo $p$ es, en el peor, algo como $1/2\log\log p$. Hay cerca de $p/2$ formas de agregar dos números menos de $p$ y obtiene el siguiente primo después de $p$, o de hecho cualquier cercanos número. Al $p$ es grande, por lo tanto, es abrumadoramente probable que obtenga, al menos, $p/8(\log\log p)^2$ pares de raíces primitivas cuya suma es el siguiente primo.