$G$ es finito abelian grupo, tenemos $\{ng : g\in G \} = G$ $(n, |G|) = 1 $ (coprime)?

Question

$G$ es finito abelian grupo, tenemos $\{ng : g\in G \} = G$ $(n, |G|) = 1 $ (coprime)?

Creo que es cierto, sabemos $G$ es la suma directa de un número finito de grupos cíclicos $$\mathbb Z/p_1\mathbb Z\oplus \cdots \oplus\mathbb Z/p_m\mathbb Z.$$ Tendremos $m$ generadores en el de $(1,0,\cdots,0), (0,1,\cdots,0),$ ... Y $(n,0,\cdots,0), (0,n,\cdots,0)...$ aún serán los generadores desde $n$ y cada una de las $p_i$ son coprime.

Es esto correcto? Y es allí una manera más directa argumento?

Answer 1

La prueba es correcta y se ve como la más fácil. Aquí está uno sin usar el teorema fundamental del fg abelian grupos, pero en el mismo espíritu: Por el teorema de Bézout, tome $k,l\in\mathbb{Z}$$kn+l|G|=1$. A continuación, para cada $g\in G$, $g=(kn+l|G|)g=n(kg)$.

Answer 2

El mapa de $x \mapsto nx$ es un homomorphism, porque $G$ es abelian.

El mapa es inyectiva porque su núcleo es trivial desde $\gcd(n,|G|)=1$. (*)

Por lo tanto, el mapa es surjective, porque $G$ es finito.

(*) De hecho, vamos a $m=|G|$ y tome $u,v \in \mathbb Z$ tal que $un+vm=1$. Si $x$ está en el núcleo, a continuación,$x=1x=(un+vm)x=0$.