Tome una matriz de $A \in \mathbb{R}^{n \times n}$, y definir el espectro de radio $\rho(A) = |\lambda_{\text{max}}(A)|$. $A$ es estable si $\rho(A) < 1$ o, ya que es relevante para mi aplicación en particular, voy a llamar a $\gamma$-estable si para $\gamma \in [0, 1)$, $\rho(A) \le \gamma$.
El conjunto de todos los $\gamma$-estable matrices $S = \{A\ |\ \rho(A) \le \gamma\}$, no es convexa (a menos $A$ es simétrica). Estoy interesado en el casco convexo de $S$, y han conjeturado que $\textbf{conv}\ S = \{A\ |\ ||A|| \le \gamma\} \overset{\Delta}{=} C$. Desde $\rho(A) \le ||A||$, e $C$ es convexa, es cierto que la $\textbf{conv}\ S \subseteq C$, pero no estoy seguro de la otra dirección.
EDIT: he confundido la desigualdad, $C \subseteq S$, no la otra manera alrededor. La pregunta sigue en pie, hay una conocida caracterización de $\mathbf{conv}\ S$?
Hay una conocida caracterización de $\textbf{conv}\ S$? No he sido capaz de encontrar uno mismo, y sorprendentemente, mis búsquedas están viniendo para arriba con las manos vacías.