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Convex hull del conjunto de la estabilidad de las matrices?

Tome una matriz de $A \in \mathbb{R}^{n \times n}$, y definir el espectro de radio $\rho(A) = |\lambda_{\text{max}}(A)|$. $A$ es estable si $\rho(A) < 1$ o, ya que es relevante para mi aplicación en particular, voy a llamar a $\gamma$-estable si para $\gamma \in [0, 1)$, $\rho(A) \le \gamma$.

El conjunto de todos los $\gamma$-estable matrices $S = \{A\ |\ \rho(A) \le \gamma\}$, no es convexa (a menos $A$ es simétrica). Estoy interesado en el casco convexo de $S$, y han conjeturado que $\textbf{conv}\ S = \{A\ |\ ||A|| \le \gamma\} \overset{\Delta}{=} C$. Desde $\rho(A) \le ||A||$, e $C$ es convexa, es cierto que la $\textbf{conv}\ S \subseteq C$, pero no estoy seguro de la otra dirección.

EDIT: he confundido la desigualdad, $C \subseteq S$, no la otra manera alrededor. La pregunta sigue en pie, hay una conocida caracterización de $\mathbf{conv}\ S$?

Hay una conocida caracterización de $\textbf{conv}\ S$? No he sido capaz de encontrar uno mismo, y sorprendentemente, mis búsquedas están viniendo para arriba con las manos vacías.

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Leon Katsnelson Puntos 274

La matriz $T_n = \begin{bmatrix} \gamma & n \\ 0 & \gamma \end{bmatrix}$ $\gamma$- estable para todos los $n$ pero $\|T_n\| \ge n$ todos los $n$.

Por lo tanto $S \not\subset C$.

De lado: (Demasiado engorroso para un comentario.)

Si $M(t) = (1-2t)\begin{bmatrix} 2 &1 \\ -1 & 0 \end{bmatrix}+ t\begin{bmatrix} 0 &-{1 \over t} \\ 0 & 0 \end{bmatrix} + t\begin{bmatrix} 0 &0 \\ {1 \over t} & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} (1-2t)2 &-2t \\ 2t & 0 \end{bmatrix}$, a continuación, $M(t) \in \operatorname{co} S$ todos los $t \in (0,1)$, por lo tanto $\begin{bmatrix} 2 &0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} \in \overline{\operatorname{co}} S$.

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