Estoy teniendo un poco de problemas para la comprensión de Delta de Dirac, o más bien, la búsqueda de una definición adecuada. Entiendo que el camino es "encontrado" por el uso de las transformadas de Fourier de una función, y que realmente no es una función sino una distribución. También tengo la idea de que yo no lo veo como un común integral de Riemann. Pero entonces, ¿por qué existen los límites de las funciones que representan el mismo objeto matemático? Específicamente yo no puedo ver cómo la siguiente sería cierto: $$\int_{-\infty}^{\infty}\delta(x)dx = \int_{-\infty}^{\infty}\lim_{\sigma\to 0}\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma²}}e^{\frac{-x²}{2\sigma²}}dx = 1$$ Si pienso en la evolución de la amplitud y el ancho de la Gaussiana como $\sigma$ se aproxima a cero que tiene algo de sentido, pero entonces, que el "intuitiva" y no de la definición rigurosa de la Delta (siendo 0 en todas partes, excepto en $x=0$ donde es "$\infty$"). Para resumir, hay una definición adecuada de la Delta que me permita mostrar la relación anterior? O ninguna explicación de "por qué el límite tiene las mismas propiedades"? Gracias!
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Por lo general, si $G_i$ es una secuencia de distribuciones, su límite (si existe) está dada pointwise; es decir, por la fórmula
$$ \left( \lim_i G_i \right) [f] = \lim_i \left( G_i[f] \right) $$
para cada función de prueba de $f$.
El problema comienza cuando se introduce el faux integral de notación para la evaluación de una distribución. Recordemos que
$$ \int_{-\infty}^{\infty} F(x) f(x) \, \mathrm{d}x := F[f]$$
es: ¿cómo podemos definir el significado de la integral como la notación de la izquierda. El uso de este, el límite anterior se escribe
$$ \int_{-\infty}^{\infty} \left( \lim_i G_i \right)(x) f(x) \, \mathrm{d} x = \lim_i \int_{-\infty}^{\infty} G_i(x) f(x) \, \mathrm{d} x$$
Observe cómo el límite ha transportado mágicamente desde el interior de la integral para fuera de la integral.
El problema de la notación se convierte en grave cuando usamos otra forma de taquigrafía. Para cualquier suficientemente agradable) la función $h$, permítanme presentarles a la notación $\widehat{h}$ a la media de la distribución definida por la fórmula
$$ \widehat{h}[f] := \int_{-\infty}^{\infty} h(x) f(x) \, \mathrm{d} x $$
Tenga en cuenta que la integral de la derecha es una ordinaria integral de funciones. Supongamos que cada una de las $G_i$ en el ejemplo anterior es de la forma $G_i = \hat{g_i}$. Entonces la integral se convierte en
$$ \int_{-\infty}^{\infty} \left( \lim_i \hat{g}_i \right)(x) f(x) \, \mathrm{d} x = \lim_i \int_{-\infty}^{\infty} g_i(x) f(x) \, \mathrm{d} x$$
El final de abuso de notación es que la gente a menudo no decorar $g$ a todos cuando hacen esto, y así tenemos la horrible apuntado que el hecho de que
$$ \int_{-\infty}^{\infty} \lim_i g_i (x) f(x) \, \mathrm{d} x = \lim_i \int_{-\infty}^{\infty} g_i(x) f(x) \, \mathrm{d} x$$
donde casi nada en el lado izquierdo significa lo que parece que significa.
En una cierta clase de $F$ de funciones reales, que es también un espacio vectorial sobre $\Bbb R$ tenemos puede tener una clase de $G$ lineal de operadores de asignación $F$ $\Bbb R,$donde cada una de las $g\in G$ se identifica con una función real $g^*$ tal que $g(f)=\int_{\Bbb R}f(x)g^*(x)dx.$ Y tenemos el operador lineal $D(f)=f(0),$ que (normalmente) no se encuentra en $G.$ Pero $D$ es (generalmente) un punto de sabio límite de los miembros de $G,$ en que hay una secuencia $(g_n)_n$ $G$ tal que para cada a $f\in F$ tenemos $f(0)=\lim_{n\to \infty}g_n(f)=\lim_{n\to \infty}\int_{\Bbb R}f(x)g_n^*(x)dx.$
Hay ventajas a escribir $D$ como si pertenecía a $G$, y como si hubiera alguna función $\delta=D^*$ tal que $f(0)=D(f)=\int_{\Bbb R}f(x)\delta (x)dx.$ Algunas de las fórmulas que implican la integración siguen siendo válidas, y que es más fácil discutir $D$ y los miembros de $G$ juntos.
Tema de referencia: Heavide Cálculo /Heaviside Operativa de Cálculo.
El $F$ $G$ por encima de variar , dependiendo del tema, el contexto y la aplicación.
La forma en que me enseñaron, la función delta se define por la expresión:
$$ \int_{-\infty}^\infty \delta(x)f(x)dx = f(0) $$
(Continua $f$.)
Esto explica por qué la $\int_{-\infty}^\infty \delta(x)dx = 1$, solo dejo $f(x)=1$. Para hacer su otro trabajo integral, lo único que haría sería realmente sentido tiene el límite en el exterior de la integral, así:
$$ \lim_{\sigma\to0} \int_{-\infty}^\infty \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}} e^{-x^2/2\sigma^2} dx $$
$$ =\lim_{\sigma\to0} 1 = 1 $$
EDIT: En general, es probablemente la mejor manera de poner el límite en la parte más exterior de cualquier expresión usando la función delta que son la informática. A medida que disminuye $\sigma$, $\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}} e^{-x^2/2\sigma^2}$ se aproxima a la función delta de mejor y mejor, así que en teoría, la expresión debe acercarse a su verdadero valor.
La definición apropiada (y a través de la correcta me refiero a lo que hice en mi clase) es de un rectángulo que se vuelve más delgada y más delgada, pero más y más. Dicen que definen $d_c(x)$ como los siguientes
$$ d_c(x)=\begin{cases} 0 & x < -\frac{1}{2c} \\ c & -\frac{1}{2c} \leq x \leq \frac{1}{2c} \\ 0 & x > \frac{1}{2c} \end{casos} $$
Como se puede ver, esto hace que un rectángulo. Problemas para el área llegamos $(\frac{1}{2c}+\frac{1}{2c})c = 1$ no importa lo $c$ valor decimos. A continuación definimos la función Delta de Dirac como
$$ \delta(x) = \lim_{c\rightarrow\infty}d_c(x) $$
