¿Cuál es la falacia en esta prueba?

Question

Me encontré con esta divertida prueba

$$4$$

$$=4+\frac 92-\frac 92$$

$$=\sqrt{(4-\frac 92)^2}+\frac 92$$

$$=\sqrt{16+\frac{81}{4}-36}+\frac 92$$

$$=\sqrt{25+\frac {81}{4}-45}+\frac 92$$

$$=\sqrt{(5-\frac 92)^2}+\frac 92$$

$$=5-\frac 92+\frac 92$$

$$=5$$

Sospecho que el error está en la segunda línea, donde la operación en negativo se hace antes de la positiva violar $BODMAS$ regla.Pero,$\sqrt{(4-\frac 92)^2}=4-\frac 92$ y el similar de problemas continúa.Entonces, ¿dónde está el error real?

Gracias por la ayuda!!

Answer 1

El error es pasar de la segunda a la tercera línea. $$\sqrt{x^2}=|x|$$ por lo $$\sqrt{\left(4-\frac{9}{2}\right)^2}=\left|4-\frac{9}{2}\right|\neq 4-\frac{9}{2}$$

Answer 2

El error viene cuando se $4 - \frac92$ se eleva al cuadrado, lo que provoca $-\frac12$ a convertirse $+\frac14$, y la raíz cuadrada tomado de esto es erróneamente tomado como $+\frac12$.

Answer 3

La eficaz problema parece estar en la conmutación entre las soluciones, pero me gustaría señalar la importancia de los números involucrados en el juego (el uso de otros números que no tienen el mismo efecto): $$ (4- \frac{9}{2})^2=(16+\frac{81}{4}-36) $$ $$^{(*)}(16+9-9+\frac{81}{4}-36)= (25+\frac{81}{4}-45) $$ $$(25+\frac{81}{4}-45)=(5-\frac{9}{2})^2 $$

El juego se basa en el hecho de que los números implicados son $4$, $5$ y $\frac{9}{2}$ de hecho, es $$4-\frac{9}{2}=-0.5$$ $$-4+\frac{9}{2}=0.5$$ mientras $$5-\frac{9}{2}=0.5$$ $$-5+\frac{9}{2}=-0.5$$ Entonces lo que ocurre es que la suma y la resta 9 (*) es suficiente para confundir y cambiar entre los dos la solución de 0.5 y -0.5 cuando ricomposing el binomio cuadrado

Answer 4

La igualdad $$\sqrt{\left(4-\frac92\right)^2} = \sqrt{\left(5-\frac92\right)^2}$$ es equivalente a $$\sqrt{\left(-\frac12\right)^2} = \sqrt{\left(\frac12\right)^2}$$ que por supuesto es cierto, pero eso noimplica $$-\frac12 = \frac12$$

Agregar el primer cuadrado y la raíz cuadrada no es válida, esta igualdad:

$$4+\frac 92-\frac 92$$ $$=\sqrt{\left(4-\frac 92\right)^2}+\frac 92$$

¿ no se sostenga.