Si $N/M$ es un subgrupo normal de $G/M$ $N$ es normal en $G$

Question

Es cierto que si $N/M$ es un subgrupo normal de $G/M$ $N$ es un subgrupo normal de $G$ sí?

Yo creo que no necesariamente porque yo esperaría que en virtud de la conjugación podríamos obtener un subgrupo de $G$ isomorfo a$N$, pero tal vez no $N$ es propia, sino un subgrupo idénticas de $N$ a excepción de sus elementos sean diferentes de $N$ por elementos de $M$.

Sin embargo creo que la correspondencia teorema dice que $N$ es normal en $G$, así que estoy un poco confundido ¿es normal que después de todo?

Answer 1

Sí, esto parece ser cierto. Considerar el mapa de $f: G \to (G/M)/(N/M)$ que envía a $g$ a su equivalencia clase de mod $M$, y, a continuación, envía el resultado a su equivalencia clase de mod $N/M$. Es decir, este es sólo el mapa de proyección de quotienting por $M$ y, a continuación, por $(N/M)$.

Se argumenta que las $N = \ker f$: $N$ es normal y $G/N$ es isomorfo a $(G/M) / (N/M)$.

Para probarlo, primero vamos a $n \in N$. A continuación, $f(n) = 1$ porque $n$ primeros mapas a$n M$, lo que, a continuación, asigna a $1$ desde $(nM) \in (N/M)$.

Por otro lado, vamos a $g \in G$, y supongamos $f(g) = 1$. A continuación,$gM \in (N/M)$, lo $gM = nM$ algunos $n \in N$. En particular,$g \in gM$, lo $g \in nM$, lo $g = nm$ algunos $m \in M$, y desde $M \subseteq N$, $g \in N$.

Answer 2

Voy a mostrar otra respuesta sin el uso de la correspondencia theoerem:

Deje $g\in G$$n\in N$.
A continuación,$nM\in N/M$$gM\in G/M$.
Desde $N/M$ es normal en $G/M$, $$(gM)^{-1}(nM)(gM)\in N/M$$
lo que significa que $(g^{-1}ng)M\in N/M$
Por lo tanto $g^{-1}ng\in N$, lo que significa que $N$ es normal en $G$.

Por otro lado, también es cierto que si $N$ es normal en $G$, $N/M$ es normal en $G/M$ que $M$ está contenido en $M$, de modo que $N/M$ está bien definido. Y puede ser probada con una forma similar que el anterior.