Irrep. de SU(2) y eigenspacios de Laplace

Question

Para calcular el espectro de Dirac en la esfera de Berger $(S^3,g_t)$ me encontré con irreps de SU(2) (véase Hitchin p. 30).

Aparentemente, Hitchin restringe el operador de Dirac a los espacios eigénicos del Laplaciano relativo a la métrica estándar porque conmutan. Eso está claro. Ahora dice que están dados por irreps de SU(2), es decir, polinomios homogéneos en dos variables complejas. Y esa es la parte que no entiendo.

Los eigenspaces del Laplaciano correspondiente en $S^3$ vienen dadas por armónico polinomios homogéneos todos con respecto al euclídeo $\mathbb{R}^4$ ¿No es así? Entonces, ¿por qué habla sólo de polinomios homogéneos sin la restricción armónica?

Ya he consultado Bröcker y Sala y no encuentro nada útil.

Obviamente, no entiendo la conexión entre los eigenspaces de Laplace y los irreps y definitivamente se me escapa algo. Tal vez sea una pregunta tonta. Pero por desgracia, no entiendo el punto. Así que agradecería un poco de ayuda.

Gracias. :)

EDITAR: He trabajado un poco y he llegado a la conclusión de que el teorema de Peter-Weyl es el punto clave aquí. Parece que las funciones dadas por los coeficientes de la matriz

$$\begin{align} g \mapsto f_{v,w}(g) = \left< \pi_k(g)v,w\right> \end{align}$$

sobre los irreps $\pi_k$ de SU(2), a saber, polinomios homogéneos en dos variables complejas de grado $k$ debe dar los armónicos esféricos que busco. ¿Alguien puede confirmarlo?

Answer 1

Ah, sí, las palabras aquí crean confusión.

Resulta que las funciones propias del laplaciano invariante de la rotación en esferas ("redondas") son las restricciones a las esferas de los polinomios euclidiano-armónicos (sí, nótese el modificador) en el espacio euclidiano ambiente.

Además, resulta que los polinomios euclidiano-armónicos de un grado dado son un repn irreducible para los grupos ortogonales y/o unitarios que actúan sobre el espacio físico.

Sí, muchas posibilidades de disonancia cognitiva.

No, no es obvio que la armónica ambiental implique o esté relacionada con las propiedades de la función propia en la esfera. (Los hechos aquí son bastante estándar. Tengo notas sobre esto, por ejemplo. No hay misterios aquí, amigos).

EDIT: la presentación más típica se refiere a la acción de grupos ortogonales sobre espacios $\mathbb R^n$ etc. Pero, además, los grupos unitarios actúan muy bien sobre $\mathbb C^n \supset S^{2n-1}$ y sobre polinomios complejos armónicos, etc., de forma similar. En parte, aunque $SU(n)$ es bastante menor que $SO(2n)$ sigue siendo transitiva en $S^{2n-1}$ etc.

Answer 2

Mi intuición en la última edición es efectivamente cierta. Puedes encontrar la solución en el libro de Folland "Curso de análisis armónico abstracto" , p. 155. ¡Gracias de todos modos! :)