Edit: Mostrar que $f$ es diferenciable en a $\Bbb{R}^n$ y calcular el $f'$

Question

Buen día a todos!

Edit: actualmente estoy haciendo un estudio personal sobre la diferenciación en $\Bbb{R}^n$ pero tengo un problema difícil. Aunque, algunas respuestas han sido proporcionados sobre cómo mostrar que muestran que $f$ es diferenciable en a $\Bbb{R}^n$ pero quisiera calcular $f'$$\Bbb{R}^n$.

Hay esta función $$f:\Bbb{R}^n\to \Bbb{R}$$ $$x\mapsto f(x)=\frac{1}{2}\langle x,u(x)\rangle+\langle x,b\rangle$$ donde $u:\Bbb{R}^n\to\Bbb{R}^n$ es lineal y simétrica $:$ $(\forall\;x,y\in \Bbb{R}^n,\langle x,u(y)\rangle=\langle u(x), y \rangle)$ y $b\in \Bbb{R}^n.$

Honestamente, me acaba de venir a través de este tipo de función. Quiero saber qué nombre se llama. ¿Cómo puedo demostrar que $f$ es diferenciable en a $\Bbb{R}^n$ y ¿cómo puedo calcular $f'$?

Gracias por su ayuda!

Answer 1

El uso de la simetría y la linealidad de la $u$ puede comprobar fácilmente que $$ f(x+h) = f(x) + \langle u(x) , h\rangle + \langle h, b \rangle + O(|h|^2), $$ es decir, $$ f(x+h) = f(x) + L_x(h) + o(|h|), $$ con $L_x(h) := \langle u(x) ,h\rangle + \langle h, b \rangle$. Por lo tanto, por definición, la lineal mapa de $L_x$ es el diferencial de $f$$x$.

Answer 2

lo siento pero no tengo la suficiente puntuación para escribir esto como un comentario

Creo que la mejor manera es a passe por la definición

Deje $P$ ser un punto en $\mathbb{R}^n$ $w$ un vector en $\mathbb{R}^n$

puede definir una curva de $\alpha :(-\epsilon , \epsilon)\rightarrow \mathbb{R}^n $ tal que $\alpha(0)=p$ $\alpha^{'}(0)=w$

ahora podemos definir una curva de $\beta = F o \alpha\; $ y la respuesta es $dF_p(w)=\beta^{'}(o)$ esta es la idea que acaba de escribir los cálculos Buena suerte

Answer 3

Considerar la regla para la diferenciación interna de los productos descritos aquí, y el uso de la habitual derivado de propiedades (suma, la regla de la cadena, la diferenciación de constantes y funciones lineales).