Cómo demostrar que $\sqrt[3]{20+14\sqrt{2}}+\sqrt[3]{20-14\sqrt{2}}=4$ ?

Question

Utilizando el Fórmula Cardano se puede demostrar que $\sqrt[3]{20+14\sqrt{2}}+\sqrt[3]{20-14\sqrt{2}}$ es una raíz real de la cúbica deprimida $f(x)=x^3-6x-40$ . En realidad, se puede demostrar mediante el cálculo del determinante que ésta es la única raíz real. Por otra parte, por el teorema de la raíz racional, se puede ver que la posible raíz racional debe ser un factor de 40 y se puede comprobar que $f(4)=0$ . Por lo tanto, por la unicidad de la raíz real, hay que tener $$ \sqrt[3]{20+14\sqrt{2}}+\sqrt[3]{20-14\sqrt{2}}=4\tag{1} $$

Tuve la observación anterior cuando resolví la ecuación cúbica $x^3-6x-40=0$ . Mi pregunta es la siguiente:

sin referirse a la raíz real única del cúbico, ¿podemos demostrar (1) directamente?

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[Un intento.] Al tomar el cubo de ambos lados de (1) y simplificar aún más, terminé con (1) de nuevo.

Answer 1

Bueno, $(2\pm\sqrt2)^3=20\pm14\sqrt2$ Es decir $\sqrt[3]{20\pm14\sqrt2} =2\pm\sqrt2$ . Por lo tanto, $$\sqrt[3]{2+14\sqrt2}+\sqrt[3]{20-14\sqrt2}=2+\sqrt2+2-\sqrt2=4.$$

Answer 2

¿Podemos expresar $\sqrt[3]{20+14\sqrt2}$ como $a+b\sqrt2$ con $a,b\in\mathbb Z$ ? En otras palabras, ¿son tres enteros $a$ y $b$ tal que $(a+b\sqrt2)^3=20+14\sqrt2$ ? Tenga en cuenta que \begin {align}(a+b \sqrt2 )^3=20+14 \sqrt2 & \iff a^3+3 \sqrt2a ^2b+6ab^2+2 \sqrt2b ^3=20+14 \sqrt2\\ & \iff a^3+6ab^2+(3a^2b+2b^3) \sqrt2 =20+14 \sqrt2.\end {align}Por lo tanto, basta con tener $$a^3+6ab^2=20(\iff a(a^2+6b^2)=20)\text{ and }3a^2b+2b^3=14(\iff b(3a^2+2b^2)=14).$$ Es fácil ver que se puede tomar $a=2$ y $b=1$ . Por lo tanto, $\sqrt[3]{20+14\sqrt2}=2+\sqrt2$ y ahora es fácil ver que $\sqrt[3]{20-14\sqrt2}=2-\sqrt2$ . Por lo tanto, $$\sqrt[3]{20+14\sqrt2}+\sqrt[3]{20-14\sqrt2}=2+\sqrt2+2-\sqrt2=4.$$

Answer 3

Si no localizas los valores de estas raíces cúbicas y no te apetece calcularlas, puedes probar con esto. Definir $a_\pm:=(20\pm14\sqrt{2})^{1/3},\,s:=\sum_\pm a_\pm$ así que $\sum_\pm a_\pm^3=40$ y $\prod_\pm a_\pm=8^{1/3}=2$ Así que $s^2=\frac{40}{s}+3a_+a_-=\frac{40}{s}+6$ . Por lo tanto, $0=s^3-6s-40=(s-4)(s^2+4s+10)$ sólo tiene una raíz real, $4$ .