¿Se pueden aplanar los límites anidados en un único límite?

Question

¿Es cierto que

$$\lim_{x \to c}{\Bigl(\lim_{y \to x}{g(y)}\Bigr)}=L \implies \lim_{y \to c}{g(y)}=L$$

(suponiendo que $\lim_{y \to x}{g(y)}$ existe para todos los $x$ )

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La pregunta se me pasó por la cabeza al hacer un problema relacionado con los derivados. En concreto, el problema de si

$$\lim_{x \to c}{f^\prime(x)} = L \implies f^\prime(c) = L$$

desde que se expandió $f^\prime$ utilizando la definición de derivada se obtiene algo muy parecido a la expresión sobre la que pregunta esta pregunta:

$$\lim_{x \to c}{\Bigl(\lim_{y \to x}{\frac{f(y)-f(x)}{y-x}}\Bigr)}=L \implies \lim_{y \to c}{\frac{f(y)-f(c)}{y-c}}=L$$

(asumiendo que el límite interno siempre existe, es decir, asumiendo que $f$ es diferenciable para todo $x$ )

Answer 1

Su conclusión es correcta. Si $\lim_{y\to x} g(y) $ existe para todos los $x$ entonces la función $G(x) =\lim_{y\to x} g(y) $ es continua para todo $x$ . Ahora su hipótesis es $\lim_{x\to c} G(x) =L$ y por continuidad de $G$ esto significa $G(c) =L$ que es lo mismo que decir $\lim_{y\to c} g(y) =L$ .

Por cierto, esto no se aplica al caso de las derivadas porque entonces no se tiene una función de tipo $g(y) $ . La relación $$\frac{f(y) - f(x)} {y-x} $$ no puede concebirse como una función de sólo $y$ como la variable $x$ también está presente en la proporción.

El enfoque correcto para tratar el resultado sobre las derivadas es el teorema del valor medio y deberías probarlo.