no puede girar la prueba de esto la desigualdad

Question

Deje $p+p'=1$$q+q'=1$.

Si $\log(p/q)>\log(q'/p')$$(p+q)\log(p/q)>(p'+q')\log(q'/p')$.

Esto parece engañosamente simple para probar, pero no lo es. Yo no podía romper usando la Desigualdad de Jensen.

Sin embargo, es sin duda cierto, aunque muy apretado. He comprobado numéricamente. Le pregunté a un colega competente, que también estaba perplejo.

Surgió como estaba meditando sobre la asimetría de las propiedades de la Kullback-Leibler divergencia.

Answer 1

Deje $x=\frac{p}{q}$ $y=\frac{q^{\prime}}{p^{\prime}}=\frac{1-q}{1-p}.\;\;\;$ Sabemos que $x>y$ desde $\ln x>\ln y$, y

queremos mostrar que $\color{blue}{(p+q)\ln x>(p^{\prime}+q^{\prime})\ln y}$.

Desde $p=xq$ y $q^{\prime}=p^{\prime}y,\;\;$ $p+q=q(x+1)$ y $p^{\prime}+q^{\prime}=p^{\prime}(y+1)$.

A continuación,$\displaystyle q^{\prime}=p^{\prime}y\implies 1-q=(1-p)y\implies q=1-y+py=1-y+xqy\implies q=\frac{1-y}{1-xy}$,

y $\displaystyle p^{\prime}=1-p=1-xq=1-\frac{x(1-y)}{1-xy}=\frac{1-x}{1-xy}.$

Por lo tanto, tenemos que mostrar que $\displaystyle\color{blue}{ x>y\implies \frac{1-y}{1-xy}(x+1)\ln x>\frac{1-x}{1-xy}(y+1)\ln y}$.

Desde $\displaystyle f(x)=\frac{(x+1)\ln x}{1-x}$ es el aumento en $(0,1)$ y disminuyendo en $(1,\infty)$,

1) Cuando $x<1, y<1$, $\displaystyle \frac{(x+1)\ln x}{1-x}>\frac{(y+1)\ln y}{1-y}$ desde $f$ es el aumento en $(0,1)$,

$\;\;\;$ de lo que se deduce que el $ \displaystyle\frac{1-y}{1-xy}(x+1)\ln x>\frac{1-x}{1-xy}(y+1)\ln y$.

2) Cuando $x>1, y>1$, $\displaystyle\frac{(x+1)\ln x}{1-x}<\frac{(y+1)\ln y}{1-y}$ desde $f$ es la disminución en el $(1,\infty)$;

$\;\;\;$ de lo que se deduce que el $ \displaystyle\frac{1-y}{1-xy}(x+1)\ln x>\frac{1-x}{1-xy}(y+1)\ln y$.

(Observe que si $x>1$, $p>q\;$ $1-q>1-p$ y, por tanto,$y>1$.)

Answer 2

No una respuesta, sino una demasiado larga-para-comentario sugerencia para aquellos que están tratando de :

La instrucción es equivalente a la siguiente. Para cualquiera de los números positivos $a_1,a_2,b_1,b_2$ tal que $a_1+a_2=1$ $b_1+b_2=1$

$$ \log(a_1/b_1) + \log(a_2/b_2) > 0\implies (a_1+b_1) \log(a_1/b_1) + (a_2+b_2) \log(a_2/b_2) > 0$$

Esta afirmación parece ser cierto, pero la generalización tentadora (para mayor tuplas, decir $(a_1,a_2,a_3)$$(b_1,b_2,b_3)$ ) es falsa. Esto sugiere que un ataque a través del registro de la suma de desigualdad probablemente no funcione.