Puede algo ser probado sobre este complejo variante del problema de Collatz, o es intratable?

Question

Dado un entero Gaussiano $z = a + bi$, donde $a, b \in \mathbb{Z}$, $i = \sqrt{-1}$, iterar la función $$f(z) = \frac{z}{1 + i}$$ if $z$ has even Gaussian norm (that is, both $$ and $b$ are odd, or they're both even), otherwise $f(z) = 3z + i$.

Suponemos que la iteración de esta función lleva finalmente, si no a $1$, a una de las otras unidades de Gauss ($-1, i, -i$).

Por ejemplo, comenzando con $z = 14$, obtenemos $$7 - 7i, -7i, -22i, -11 - 11i, -11, -33 + i, -16 + 17i, \ldots$$

(esto está mal, consulte edición de abajo)

He intentado un par de diferentes valores de $z$ con los pequeños de la norma, algunos puramente real, con lápiz y papel, no ha conseguido mucho. También lo he probado en Mathematica, pero he cometido algunos errores en mi programación que bloquear el programa, o realmente hay un montón de valores que escapan a algunos infinito.

Seguramente alguien más ha estudiado esta variante? Si es así, han sido capaces de determinar nada (como la búsqueda de una órbita periódica que no incluye unidades)?

EDIT: he cometido un error. Mathematica hizo guardar mi archivo de notebook en algún momento antes de que se estrelló, y yo podría haber conseguido la secuencia correcta de allí en lugar de tener que recalcular de nuevo. Se debe ir como esto: $$7 - 7i, -7i, -20i, 10 + 10i, 10, 5 - 5i, -5i, -14i, -7 - 7i, -7, -20, \ldots$$

Gracias al Señor Cortek para señalar esto.

Answer 1

La conjetura de Collatz funciona de forma heurística, porque el mapa es contratantes en promedio (para demostrar que esto es más fácil utilizar la $x \mapsto (3x+1)/2$ al $x$ es impar)

Para que el procedimiento este no es el caso porque la división por $1+i$ divide el módulo por $\sqrt 2$.

Si $z$ es "raro", a continuación, se multiplica por aproximadamente $3/ \sqrt 2$ en dos pasos, y si es que "incluso" se divide por $\sqrt 2$ en un solo paso, por lo que, en promedio, de multiplicar un número por $3/2$ $3$ pasos, lo que significa una multiplicación por $(3/2)^{1/3}$ por cada paso. Esto es mayor que $1$, por lo que de forma heurística, la mayoría del tiempo la secuencia debe divergir hasta el infinito.

Por ejemplo, si usted comienza a $1+2i$, después de 200 pasos que están en $-673097903812-335968886130i$, cuya norma es de aproximadamente $7.523 \times 10^{11}$, y no parece que quiere volver a los números pequeños.

Para la comparación con la heurística, $\sqrt 5 \times (3/2)^{200/3} \approx 1.227 \times 10^ {12}$, que es decentemente cerca.

Answer 2

La esperanza aquí es que al parecer se encuentra que todos los enteros de Gauss, eventualmente, conducir a un número de la forma $(1 + i)^n u$ donde $n$ es un real positivo entero y $u$ es una Gaussiana de la unidad.

Buscando en una lista de poderes de $1 + i$, me parece que tomar una de estas formas: $\pm 2^n$, $\pm 2^n i$, $\pm 2^n \pm 2^n i$.

Entonces es definitivamente posible, por ejemplo, $-3i$, seguido por $-8i$ y el formulario no es una espiral de caída a 1.

Pero cuando las partes real e imaginaria son ambos cero, nos topamos con el problema de que $3z + i$ afecta a las partes real e imaginaria de manera desigual.

Por ejemplo, $5 + 5i$ multiplicado por 3 es $15 + 15i$, pero, a continuación, sólo añadas $i$ $15 + 16i$ se queda corto de $16 + 16i$ por 1.

Desde $\mathbb Z[i]$ es una única factorización de dominio y el 3 es primo, un número con parte real e imaginaria tanto distinto de cero es divisible por 3 sólo si cada parte en sí es también divisible por 3.

Por lo tanto $3z$ lleva a un número de la forma $2^n + (2^n - 1)i$. Un problema similar ocurre con las $3z + 1$ en lugar de $3z + i$.