En los conjuntos de sumas $\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{a_n}{n^s}$ $(a_n)$ periódico y valores enteros, para diferentes valores de $s$ número natural

Question

Para cada entero positivo $s$, vamos a $A_s$ denota el conjunto de las sumas de la convergencia de las series de $\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{a_n}{n^s}$ por cada periódico secuencia de enteros $(a_n)$.

A continuación, cada una de las $A_s$ es una contables densa subconjunto de los números reales, y un aditivo grupo. El conjunto $A_1$ es de hecho un espacio vectorial con escalares dibujado a partir de los racionales.

Sospecho $A_s$ no debe contener cero no racionales (contraejemplos son bienvenidos!) pero una prueba de que esto implicaría que el catalán del número es irracional para atacar directamente debe ser evitado...

Pregunta Puede algo muy interesante, se dijo acerca de la intersección de estos conjuntos? Por ejemplo, es el caso de que $A_s\cap A_t=\{0\}$ por cada $s\ne t$?

Esta pregunta viene de mis propias reflexiones y puede estar abierto. Supongo que es un riesgo que uno siempre tiene al hacer preguntas que coquetear con la función zeta.

Algunas Notas: $\zeta(s)\in A_s$, $\eta(s) \in A_s$, $\ln(\mathbb{Q})\subset A_1$.

Las generalizaciones que pueden ser dignos de seguimiento:

1) ¿esto Es sólo el caso de los números reales positivos $s\neq t$? Esto ha sido ya respondidas a continuación. Este no es el caso.

2) Si definimos $A_s$ con los enteros de Gauss podemos obtener los mismos resultados?

Edit 1 (un esfuerzo para arreglar esta pregunta): Algunas Motivaciones + cool valores

Esta pregunta no tuvo la emoción que me esperaba, así que voy a añadir ahora algunas loca! Aquí hay un par de valores de Dirichlet de la serie en $A_1$, $A_3$, $A_5$, $A_7$. Se pueden calcular los valores específicos en $A_s$ pero cuando lo conseguimos, las formas exactas de los valores en estos conjuntos (parece), invariablemente, esto es debido a su relación con Dirichlet de la Serie.

$$f(s,\vec{a})= \sum_{n=1}^\infty{\frac{a_n}{n^s}} $$

Entonces $$ \begin{array}{c|c|c|c|c|c} f(s,\vec{a}) & \vec{a}=(1,-1) & \vec{a}=(1,0,-1,0) & \vec{a}=(1,1,0,-1,-1,0) & \vec{a}=(1,0,1,0,-1,0,-1,0) \\ \hline %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% s=1 & \ln(2) & \frac{\pi}{4} & \frac{2 \pi}{3\sqrt{3}} & \frac{\pi}{2\sqrt{2}} \\ %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% s=3 & \frac{3}{4}\zeta(3) & \frac{\pi^3}{32} & \frac{5 \pi^3}{81\sqrt{3}} & \frac{3\pi^3}{64\sqrt{2}} \\ %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% s=5 & \frac{15}{16}\zeta(5) & \frac{5 \pi^5}{1536} & \frac{17 \pi^5}{2916\sqrt{3}} & \frac{19 \pi^5}{4096 \sqrt{2}} \\ %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% s=7 & \frac{63}{64}\zeta(7) & \frac{61\pi^7}{184320} & \frac{91 \pi^7}{157464\sqrt{3}} & \frac{307 \pi^7}{655360\sqrt{2}} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \end{array}$$

La columna(1) La columna(2) La columna(3) La columna(4) Y más

Así que aquí están sólo algunos elementos específicos en $A_s$ para conseguir una sensación para estos conjuntos.

Answer 1

He buscado una autoridad de algún tipo sobre estos temas y voy a reproducir la respuesta a continuación. Para resumir, la respuesta es que mi conjetura es la expectativa de la comunidad matemática, pero parece que no hay mucho en el camino de la evidencia de estas expectativas.

Esto proviene de un intercambio de correo electrónico con el Profesor Wadim Zudilin que estudios de este tipo de estructuras matemáticas. He añadido un poco de formato, pero realmente tiene a la izquierda el contenido intacto.

Queridos Mason,

No puedo estar mucho tiempo en mi respuesta, pero de hecho, hay algunas expectativas sobre cómo los conjuntos de $A_s$ en su notación están estructurados para enteros positivos $s$. Supongo que $\{a_n\}$ es periódica desde el principio: $a_k=a_{T+k}$ todos los $k=1,2,\dots,$ $T$ a plazo fijo. La única $\mathbb{Q}$-lineal de las relaciones dentro de $A_s$ $s$ fijo se espera que los que evalúan a $0$ (es decir, no hay números racionales aparte de $0$ puede estar en el $\mathbb{Q}$-lineal lapso de $A_s$). Además, $A_s$ $A_t$ son linealmente disjuntos para $s\ne t$ en el sentido de que su $\mathbb{Q}$-lineal se extiende cruzan en $\{0\}$. Un lenguaje habitual de tratar con $A_s$ es a través de la zeta de Hurwitz función, y hay muy pocos resultados para apoyar a los grandes expectativas. Había un trabajo en $A_1$ en relación con Baker lineal de las formas en logaritmos; los últimos métodos implican que si una $\mathbb{Q}$-combinación lineal de los elementos en $A_1$ es irracional, entonces es trascendental así. Esto no es exactamente lo que su pregunta es acerca de, excepto que creyéramos que ser irracional significa ser distinto de cero.

Eso es todo lo que puedo decirles. No culpen a los matemáticos profesionales para no probar algo definitivo hacia su (muy natural) expectativas: es extremadamente difícil probar que los números son linealmente independientes sobre los racionales, porque uno necesita crear para que muy buenas aproximaciones racionales a los números. Y la serie en $A_s$ convergen muy lentamente para ser fácilmente aproximada por los racionales...

Los mejores deseos, Wadim Zudilin

Answer 2

Sólo una nota.

Para $\,\vec{a}\neq \vec{0}\,$ $\,\vec{c}\neq \vec{0}\,$ tu conjetura es:

$f(s,\vec{a})= f(t,\vec{c})\neq 0\enspace$ $\,$ no $\,$ solución para $\,s\neq t\,$ donde $\,s,t\in\mathbb{N}\,$

Tal vez ayuda a saber, que con $\,a_{k+p}=a_k\in\mathbb{C}\,$ todos los $\,k\,$ y

$\displaystyle b_k:=\frac{1}{p}\sum\limits_{v=1}^p a_v e^{-i2\pi v\frac{k-w}{p}}\in\mathbb{C} \enspace$ $\,1\leq k\leq p\,$ $\,w\in\mathbb{Z}\,$ hemos

$$f(s,\vec{a})= \sum_{v=1}^p b_v E_s\left(\frac{v-w}{p}\right) $$

donde $\,\displaystyle E_s(x):=Li_s\left(e^{i2\pi x}\right)=\sum\limits_{k=1}^\infty\frac{e^{i2\pi xk}}{k^s}\,$ .

Answer 3

Esta es una respuesta a la nota de user90369. ¿Cuál es el protocolo para esto?

Gracias por tu comentario.

Lo que fue escrito originalmente no era mi conjetura, pero el actual reescribir parece coincidir con mi conjetura. Tenga en cuenta que $\vec{a}=(1,-1,-2,-1,1,2), s=1, \vec{c}=\vec{0}, t\in \mathbb{R^+}$ satisfacer $f(s,\vec{a})=f(t,\vec{c})$, lo que puede ser visto aquí.

Además, el texto no es una solución, me ha hecho darme cuenta de que este parece ser poco probable. Con frecuencia, habrá alguna solución en los números reales. Mi conjetura es que no debería ser una solución para $s$ en los enteros positivos.

Que podría ser capaz de derrotar a la cuestión más amplia acerca de lo que está sucediendo en los números reales, argumentando que $f(t,\vec{c})$ es un mapa continuo en $t$ a es la variedad y $f(t,\vec{a})$ está en algún lugar en este rango. Que parece que debería ser un enfoque fructífero, pero que en realidad no ayudan a responder mucho acerca de la $t\in\mathbb{N}$. Podría darse el caso de que estos zeta-al igual que las funciones no tienen especial relación con $s\in \mathbb{N}$, por lo que iba a hacer mi pregunta difícil de contestar (me parece improbable). Pero que sería una especie de una interesante respuesta, aunque...

Aquí está un ejemplo concreto. Tome $\vec{a}=(1 ,-3,1,1)$$\vec{c} =(1,0,-1,0)$. A continuación, $f(s,\vec{c})$ es la beta de la función de dirichlet. $f(1,\vec{a})=0$ , y he escrito un poco sobre este caso aquí.

A continuación, $$\frac{\pi^3}{32}=f(3,\vec{c})=f(s^*,\vec{a})$$

donde $s^*\approx 6.554$ para una imagen de lo que está sucediendo aquí, echa un vistazo a este. Para obtener más dígitos que usted puede comprobar fuera de este.

Sin ser capaz de resolver para el valor exacto de $s^*$ sabemos que $0<\frac{\pi^3}{32}<1$ está en el rango de $f(t,\vec{a})$ porque $f(1,\vec{a})=0$$\lim_{t\to \infty}f(t,\vec{a})=1$. Así que si $f(t,\vec{a})$ es una función continua en a $t$ debe tomar el valor de $\pi^3/32$ en algún lugar.