En primer lugar hay un pequeño error en tu pregunta original cuando usted dice
para mostrar la continuidad de una función $f : \mathbb{R}^k \to M$, podríamos considerar la posibilidad de abrir conjuntos de $M$, como abrir conjuntos de $M$, yo.e no $\mathbb{R}^n$.
Técnicamente no están considerando la posibilidad de abrir conjuntos de $M$ pero
desde $M \subseteq \mathbb{R}^n$ $M$ tiene el subespacio de la topología heredada de $\mathbb{R}^n$, por lo que la topología de $\mathbb{R}^n$ juega un vital papel en la determinación de la continuidad de la $f$.
Si entiendo tu pregunta correctamente, hay dos partes. La primera parte es sólo dependen de la topología de un conjunto para definir la diferenciabilidad? En otras palabras podemos definir la diferenciabilidad de mapas entre espacios topológicos arbitrarios $X$$Y$? Y la respuesta es no. (ver mathcounterexamples.net's respuesta)
La segunda parte creo que tiene una respuesta simple. Algunos autores (especialmente para los textos de cálculo multivariable) sólo definir la diferenciabilidad para funciones de $f : U \to \mathbb{R}^n$ donde $U$ es una susbet de $\mathbb{R}^k$. Ahora creo que a partir de este su incomprensión es que usted no está seguro de si va a tomar el interior con respecto a la topología de subespacio o el más grande de la topología.
Por ejemplo, usted puede extender la definición anterior para un conjunto arbitrario $S \subseteq \mathbb{R}^k$ y, a continuación, definir la diferenciabilidad de una función de $f : S \to \mathbb{R}^n$ en $$\operatorname{Int}_{\mathbb{R}^k}(S)$$ which by definition of the interior is the largest open set in $\mathbb{R}^k$ contained in $S$ (as opposed to $\operatorname{Int}_{S}(S) = S$ which is the largest open set in $S$ with the subspace topology contained in $S$ which is just $S$). Si no recuerdo mal esto es lo que Munkres hizo en su libro.
Como una aplicación rápida en el ejemplo que se dio anteriormente. Por la definición anterior, la función de $f : (0, 1] \to \mathbb{R}^m$ sólo sería derivable en a $$\operatorname{Int}_{\mathbb{R}}\left((0, 1]\right) = (0, 1)$$
¿Por qué sólo nos definir la diferenciabilidad para abrir establece en $\mathbb{R}^n$?
Para responder a esta pregunta hay que volver a la definición de límite de una función (porque la diferenciabilidad se define a través de los límites de las funciones)
Definición: [Límite de una función] Vamos a $(X, d_X)$ $(Y, d_Y)$ ser métrica espacios. Supongamos que $E \subseteq X$. Deje $f : E \to Y$ y supongamos que $p$ es un punto límite de $E$. Decimos que $$\lim_{x \to p} f(x) = q$$ if there exists a point $q \Y$ with the property that for all $\epsilon > 0$ there exists a $\delta > 0$ such that $$0 < d_X(x, p) < \delta \implies d_Y((f(x), q) < \epsilon$$ for any $x \in B_{(X, d_x)}(p, \delta)$
Ahora mirad la última condición no:
para cualquier $x \in B_{(X, d_x)}(p, \delta)$
Lo que esto realmente unidos es que debe existir una $\delta > 0$ tal que $B_{(X, d_x)}(p, \delta) \subseteq E$, porque si $B_{(X, d_x)}(p, \delta) \not\subseteq E$, entonces no tendría que existir un $x \in B_{(X, d_x)}(p, \delta)$ tal que $x \not \in E$, pero, a continuación, $f$ es que no se definen en $x$, ya que se encuentra fuera de $E$, por lo que la instrucción $$0 < d_X(x, p) < \delta \implies d_Y((f(x), q) < \epsilon$$ is meaningless because $f(x)$ no está definido aún.
Por lo tanto, ya no debe existir una $\delta > 0$ tal que $B_{(X, d_x)}(p, \delta) \subseteq E$, se deduce que el $p$ es un punto interior de a $E$. Por lo $p \in \operatorname{Int}_X(E)$ (que es un conjunto abierto ciertamente), que es $p$ es un elemento del interior de $E$ con respecto al espacio métrico $X$. ¿Por qué es este el caso? Esto es debido a que anteriormente nos hemos tomado el open de bola (conjunto abierto) con respecto a la métrica del espacio $X$.
Eso es todo bien y bueno, pero ¿cómo afecta a la diferenciabilidad usted pide?
Así la diferenciabilidad depende del límite de una función existente, hemos visto anteriormente que el límite de una función no existe (o sentido) si tomamos el límite de una función en un no-de punto interior, por lo que sólo podemos tomar de los límites de funciones en los puntos del interior, lo que implica que sólo podemos diferenciar las funciones o hablar acerca de la diferenciación de funciones definidas en bloques abiertos. Esa es la principal razón por la que sólo definen la diferenciabilidad para abrir establece en $\mathbb{R}^n$. (Nota de cómo $\operatorname{Int}_X(E)$, se traduce a $\operatorname{Int}_{\mathbb{R}}\left((0, 1]\right)$ en mi ejemplo anterior)
Considere el caso simple de la diferenciabilidad de una función entre un subconjunto de a$A \subseteq \mathbb{R}$$\mathbb{R}$. Considere una función de $f : A \to \mathbb{R}$, se define la derivada de $f$ a un punto de $a \in A$, como $$f'(a) = \lim_{t \to 0} \frac{f(a+t)-f(a)}{t}$$ provided the limit exists. Now for the time being suppose we don't include the added condition that $Un$ must contain a neighborhood of $$. Then note that there is no need for $f(a+t)$ to even be defined, so the limit doesn't make sense and we can't talk about the derivative of the function at $$. So we really need the condition that $$ must contain a neighborhood of $$. He dado más explícita ejemplo de esto en los comentarios de abajo.
Material Extra
Pero hay otro problema que yo todavía no he dirección, que es la función $$\frac{f(a+t)-f(a)}{t}$$ isn't even given a domain in most textbooks, and you could say that for large $t$ it wouldn't even be defined if the domain of $f$ wasn't the whole of $\mathbb{R}$. The key realization to make is that we only need the function $\frac{f(a+t)-f(a)}{t}$ to be defined locally on a small neighborhood $\Theta_a$ containing $0$, and note very importantly that the neighborhood $\Theta_a$ containing $0$ depends directly on finding a neighborhood $\Omega$ containing $a$. La mayoría de los libros de texto no subrayar la importancia de este que es por eso que se formalizó la siguiente definición para abordar estas cuestiones
Mi definición de la derivada de una función en un punto: Vamos a $U \subseteq \mathbb{R}$ ser un conjunto abierto. Deje $f : U \to \mathbb{R}$ ser cualquier función. Pick $a \in U$ y elija $r > 0$ tal que $B(a, r) \subseteq U$. Deje $\Omega_a = B(a, r) = (a-r, a+r)$ y deje $\Theta_{r_a} = B(0, r) \setminus \{0\}$ Definir $\phi : \Theta_{r_a} \to \mathbb{R}$ por $$\phi(t) = \frac{f(a+t) - f(a)}{t}.$$ Then we define the derivative of $f$ at $un$ as $$f'(a) = \lim_{t \to 0} \phi(t)$$ provided that the limit exists and we say that $f$ is differentiable at $$.
Usted puede comprobar a partir de las definiciones que he dado a que este es, de hecho, bien definido, y es totalmente equivalente a las definiciones de la Munkres libro y también prestar atención a cómo la necesidad de un conjunto abierto es vital para esta definición. Pero en la práctica nunca usaría esta definición, esto es sólo una manera de comprobar que todo su libro de texto de los autores están diciendo tiene sentido y es riguroso y que hay una razón por la que he hecho las opciones de que disponen de una definición.
