¿Por qué uno escribe un campo vectorial como un derivado?

Question

Pensé que un campo vectorial fue una función de $\vec{A}:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^n$, lo que lleva a un vector un vector. Esto parecía intuitiva para mí, pero en una física matemática curso he encontrado la definición $$X=\sum\limits_{i=1}^n X^i \frac{\partial}{\partial x^i},$$ donde $X$ parece tener funciones de $C^\infty$ como argumento y $X^i:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}$. No entiendo esta nueva forma de hablar de los campos vectoriales, especialmente cuando nuestro profesor nos dijo que debería ver el $\frac{\partial}{\partial x^i}$ como vectores de la base del espacio de la tangente.

Yo también realmente no puede traducir cualquier vector campo que yo sepa en esta nueva definición. Así que sería genial si alguien podría tal vez hacer un ejemplo de una $\vec{E}$-de campo o algo similar y "traducir" en esta nueva forma de expresar campos vectoriales. Yo también estoy luchando para visualizar la nueva definición. Parece que $X(f):\mathbb{R}^n\to \mathbb{R}$ ( $f\in C^\infty$ ), a la que yo realmente no se puede asignar ningún significado físico.

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TL;DR: ¿Puede alguien explicarme por qué alguien quiere expresar un vector de campo de esta manera? Idealmente me gustaría ver un ejemplo de campo vectorial expresado en las dos formas y una explicación de cómo uno podría interpretar la visualización del nuevo campo vectorial.

Answer 1

La motivación va como esta.

• A la hora de definir las cosas matemáticamente, queremos usar como pocos objetos separados como sea posible. No queremos definir un nuevo objeto de forma independiente, si es que puede ser definido en términos de las cosas existentes.
• Supongamos que una partícula se mueve de modo que cuando está en la posición $\mathbf{r}$, su velocidad es de $\mathbf{v}(\mathbf{r})$ donde $\mathbf{v}$ es un campo de vectores. Entonces, si hay alguna función $f(\mathbf{r})$, entonces la partícula se ve $$\frac{df}{dt} = v^i \frac{\partial f}{\partial x^i}$$ por la regla de la cadena. Es decir, si interpretamos un campo vectorial como un campo de velocidad, y darle una función $f$, entonces podemos calcular otra función $df/dt$, que es la tasa de cambio de $f$ visto por una partícula siguiendo el flujo del campo vectorial, como si se tratara de un campo de velocidad.
• Echando un vistazo a la regla de la cadena, se ve que si sabe $df/dt$ por cada $f$, entonces usted sabe lo que el vector de campo.
• Por lo tanto, cuando trabajamos en el más general de la configuración de un colector, donde no es inmediatamente claro cómo definir un campo de vectores en la forma habitual ("una flecha en cada punto"), que podemos usar en reversa para definir lo que es un campo vectorial es. Es decir, un campo de vectores $v$ es un mapa de las funciones de $f \mapsto v(f)$ que obedece a ciertas propiedades.
• Tenga en cuenta que no todos los vectores de campo debe ser físicamente considerado como un campo de velocidad. Sólo estamos haciendo definiciones matemáticas aquí. Las definiciones son el elegido para hacer el formalismo limpio y simple como sea posible, posiblemente a expensas de la intuición.
• La traducción entre los dos es muy simple. Por ejemplo, el campo de $$\mathbf{E}(\mathbf{r}) = x \hat{i} + xy \hat{j}$$ se traduce en $$\mathbf{E}(\mathbf{r}) = x \frac{\partial}{\partial x} + x y \frac{\partial}{\partial y}.$$ Es decir, cada vez que te ve $\partial/\partial x$ sólo puede imaginar como un vector unitario que apunta en la $x$ dirección. La intuición es el mismo, porque las dos definiciones de obedecer las mismas propiedades.

Hay muchos ejemplos de esto en las matemáticas. Por ejemplo, usted podría pensar $\log(x)$ se define como "el número de veces que usted tiene a varios por $e$ para llegar a $x$", pero no está claro cómo definir rigurosamente. Luego, a través de semi-riguroso manipulación usted puede demostrar que $$\log(x) = \int_1^x \frac{dx'}{x'}.$$ Ahora el matemático lo ve y decide definir $\log(x)$ como esta integral. Esto es más simple, ya que funciona automáticamente para cualquier real $x$ y sólo utiliza la noción de integral, que ya sabemos. A continuación, se puede derivar la "intuitiva" de las propiedades del logaritmo, tales como $\log(xy) = \log(x) + \log(y)$. Mediante el uso de una forma menos intuitiva definición, el formalismo se convierte en simple. Y una vez que se demuestra que esta definición es equivalente a la intuitiva, está "permitido" para seguir usando la misma intuición que comenzó, de manera que usted obtenga lo mejor de ambos mundos!

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Edit: el OP pide ejemplos en los que esta definición de un campo vectorial es más útil en la práctica. Puedo pensar en dos la parte superior de mi cabeza. En primer lugar, ¿cómo vectores de la base transformar al cambiar las coordenadas de$x^i$$y^j$? En la habitual formalismo puede que tenga que memorizar una fórmula, pero con los derivados se deduce de la regla de la cadena, $$\frac{\partial}{\partial x^i} = \frac{\partial y^j}{\partial x^i} \frac{\partial}{\partial y^j} \equiv J^j_i \frac{\partial}{\partial y^j}$$ donde $J$ es la matriz Jacobiana. Siguiente, supongamos que el campo de vectores en realidad es un campo de velocidad, y se desea calcular el $f(x(t))$$x(0)$, es decir, usted quiere saber dónde vas a estar, si usted sigue el flujo del tiempo $t$. En este formalismo, que es un one-liner. Es sólo $$f(x(t)) = (e^{t v} f(x))|_{x = x(0)}.$$ Para probar esto, expanda la exponencial en una serie de Taylor.

Por supuesto, la gran cosa es que una vez que prueban dos formalismos son equivalentes, se puede utilizar la intuición de cualquiera de ellas de manera intercambiable a través, porque saben que ellos son igualmente válidos. Para adquirir la intuición de un par de casos nuevos, sin perder la intuición que tenía antes. Siempre se puede cambiar de ida y vuelta, como el mismo programa de software que puede ejecutarse en hardware diferente.

Answer 2

Una línea de la motivación es la siguiente:

Se puede identificar un vector (campo), con la "derivada direccional" a lo largo de ese vector (campo).

Dado un punto y un vector en ese punto, usted puede (intentar) diferenciar una función en ese punto en esa dirección.

En las coordenadas, de la relación entre el $X$ e su $\vec{A}=\sum_{i=1}^n A_i \vec{e}_i$ es $$ X= \vec{A} \cdot \nabla = \sum_{i=1}^n A_i \frac{\partial}{\partial x_i}.$$

Un vector (de campo) es una "dinámica" de objeto, una forma de "transformar el espacio": tomar el ODE, asociados con $\vec{A}$, es decir,$\boldsymbol{r}'= \vec{A}(\boldsymbol{r})$, y la mirada en el flujo. Una vez que tenga el flujo, se puede diferenciar sus funciones a lo largo de ella.

Answer 3

Esta es realmente una pregunta de matemáticas y no de física de la pregunta.

Es una cuestión de cómo pensamos acerca de la derivada. Hay más de una manera. Y esto es a menudo cómo el progreso, gracias a los progresos en más de un frente.

Newton tenía una concepción dinámica de la tasa de cambio que él matemáticamente implementado a través de una idea intuitiva de infinitesimals - aka su método de fluxions. Por este método, la noción de una derivación es un derivado del concepto.

Este es un concepto natural. Después de todo, una vez que tenemos la idea de un derivado a mano, una pregunta natural es su simple relación entre la derivada de un producto y los derivados de los factores de un producto. Hay, es decir:

$d(gf) = dg.f + f.dg$

Cuando formalizado, esta es la noción de una derivación.

Matemáticamente hablando, pensamos de la derivada como definido por un límite - tomando nuestro ejemplo de Cauchy.

Sin embargo, uno puede tomar la derivada concepto de la derivación como otro punto de partida para el cálculo y esto nos da una expresión algebraica forma de pensar sobre los derivados. Y esto le da un limpiador de desarrollo de las principales herramientas del cálculo, al menos en lo finito-dimensional contexto.

Por cierto, la definición habitual de un campo vectorial es como una sección de un vector paquete. Esto simplemente significa que a cada punto de colector de un vector está conectada de forma continua.