El área bajo la gráfica de la integración

Question

La región de $P$ está delimitada por la curva de $y= 3x-x^2$ , $x$- eje y la línea de $x=a$ . La región de $Q$ está delimitada por la curva de $y= 3x-x^2$ , $x$ejes y las líneas de $x=2a$$x=a$. Dado que el área de $Q$ es el doble del área de $P$, hallar el valor de $a$ .

En primer lugar , en el primer paso , ya pegada ...

He utilizado la integral definida para encontrar el área de $P$ -

$$\int^a_0\ (3x-x^2)dx=\frac{9a^2-2a^3}{6}$$

Sin embargo, cuando me calcular el área de $Q$ , es el mismo que el Área de $P$ - $$\frac{9a^2-2a^3}{6}$$

A continuación, ya que

$Q= 2P$

$9a^2 - 2a^3 = 18a^2 - 4a^3 $

A partir de aquí, definitivamente, no se puede encontrar el valor de $a$ ... ¿dónde he ido mal o incomprendido ?

Answer 1

$$\int _{ a }^{ 2a }{ \left( 3x-{ x }^{ 2 } \right) dx } =2\int _{ 0 }^{ a }{ \left( 3x-{ x }^{ 2 } \right) dx } \\ \frac { 36{ a }^{ 2 }-16{ a }^{ 3 } }{ 6 } -\frac { 9{ a }^{ 2 }-2{ a }^{ 3 } }{ 6 } =\frac { 9{ a }^{ 2 }-2{ a }^{ 3 } }{ 3 } \\ \frac { 27{ a }^{ 2 }-14{ a }^{ 3 } }{ 6 } =\frac { 9{ a }^{ 2 }-2{ a }^{ 3 } }{ 3 } \\ 27{ a }^{ 2 }-14{ a }^{ 3 }=18{ a }^{ 2 }-4{ a }^{ 3 }\\ 9{ a }^{ 2 }-10{ a }^{ 3 }=0\\$$ clearly $ a\neq 0$ so the answer is $$ \color{red}{a=\frac { 9 }{ 10 }} $$

Answer 2

Desde $a\neq 0$ (sería absurdo), podemos resolver la ecuación de la siguiente manera

\begin{align}9a^2−2a^3&=18a^2−4a^3\\ 9-2a&=18-4a\tag{divide through by %#%#%}\\ 2a&=9\\ a&=\frac 92\end{align}

Sin embargo, como se observó en otras respuestas, esto es incorrecto.

Su error está en algún lugar en su cálculo de la zona de $a$, usted debe obtener la $Q$$

Este luego le da \begin{align}Q&=2P\\\frac{27a^2-14a^3}{6}&=2\times \frac{9a^2-2a^3}{6}\\ 27a^2-14a^3&=2(9a^2-2a^3)\\ 27a^2-14a^3&=18a^2-4a^3\\ 27-14a&=18-4a\tag{divide through by %#%#%}\\ 9&=10a\\ a&=\frac 9{10}\end{align}

Answer 3

Área de $Q$ sin duda es no $$\frac{9a^2-2a^3}{6}$$

Es:

$$Q = \int_a^{2a}\ (3x-x^2)dx=\left .\frac{9x^2-2x^3}6\right |_{x=a}^{x=2a}$$

$$= \frac{9(2a)^2-2(2a)^3}6 - \frac{9a^2-2a^3}6 $$ $$= \frac {36a^2-16a^3}6 - \frac{9a^2-2a^3}6$$ $$= \frac {27a^2-14a^3}6$$

por lo $Q=2P$ rendimientos

$$27a^2-14a^3 = 2(9a^2-2a^3)$$ $$27a^2-14a^3 = 18a^2-4a^3$$

que otros ya resuelto.

Answer 4

usted tiene que

$2\int _0^a\:\left(3x-x^2\right)dx\:=\int _a^{2a}\:\left(3x-x^2\right)dx\:$

así

$\left(-3\:a^2\right)/2\:+\:\left(5\:a^3\right)/3\:=\:0$

la solución de esta ecuación son:

$a=0,\:a=\frac{9}{10}$ cual es la respuesta

Answer 5

Alternativamente, tenga en cuenta que $Q=2P \Rightarrow P+Q=3P$. Componen la ecuación:

\begin{align}\int _{ 0 }^{ 2a } \left( 3x-{ x }^{ 2 } \right) \text dx &=3\int _{ 0 }^{ a } \left( 3x-{ x }^{ 2 } \right) \text dx \\ \left.\left(\frac{3x^2}{2}-\frac{x^3}{3}\right)\right|_{0}^{2a}&=3\left.\left(\frac{3x^2}{2}-\frac{x^3}{3}\right)\right|_{0}^{a}\\ \left(\frac{12a^2}{2}-\frac{8a^3}{3}\right)&=3\left(\frac{3a^2}{2}-\frac{a^3}{3}\right)\\ \frac{36a^2-16a^3}{6}&=\frac{27a^2-6a^3}{6}\\ 10a^3-9a^2&=0\\ a^2(10a-9)&=0 \stackrel{a\ne0}\Rightarrow 10a-9=0 \Rightarrow a=\fbox{%#%#%}\end{align}