Límite de suma de la acotada y delimitada de la secuencia

Question

Supongamos $a_n \rightarrow +-\infty$ $(b_n)$ está acotada. Mostrar que $a_n+b_n \rightarrow +-\infty$. He intentado esto:

$|a_n|\rightarrow +-\infty$, lo $|a_n+-\infty|<\epsilon$. También es cierto que $|b_n|<M$, debido a $(b_n)$ fue delimitada. Ahora, si las agregas juntos, usted obtendrá: $|a_n+-\infty|+|b_n|<\epsilon+M$ y para ello: $|a_n+b_n+-\infty|\le|a_n+-\infty|+|b_n|<\epsilon+M$. Pero, puesto que M es fijo (digamos M $2$), no puede estar más cerca de lo que $2$ el límite (porque $\epsilon$ debe ser negativo en este caso). Me estoy perdiendo algo?

Saludos, Kevin

Answer 1

Yo no aconsejaría añadir/restar el infinito hasta que usted tendrá suficiente experiencia en esto.

La estricta prueba es como este:

1. supongamos que $a_n\to+\infty$, lo que para cualquier $E>0$ (aquí estamos especialmente interesados en los grandes valores de $E$) no existe $N(E)$ tal que $a_n>E$ todos los $n\geq N$.

2. Como usted ha escrito, no es una constante $M$ tal que $|b_n|<M$ todos los $n\geq0$, es decir, $$-M<b_n<M.$$ Vamos a utilizar el lado izquierdo de la desigualdad.

3. Para demostrar que $a_n+b_n\to+\infty$ nos debe mostrar que para cualquier $E'$ hay $N(E')$ tal que para todos los $n\geq N(E')$ tiene $a_n+b_n>E'$.

4. Claramente podemos hacer: recoger $E'$, $a_n+b_n>a_n-M$ (ver 2.), por lo tanto para hacer $a_n+b_n>E'$ tan solo tenemos que $a_n>E'+M$ cualquier $E'$ - y que será suficiente (¿está usted de acuerdo aquí?)

5. Basado en 1., sólo tomamos $N(E'+M)$ $a_n>E'+M$ todos los $n\geq N(E'+M)$, por lo tanto $$a_n+b_n>E'$$ para todos los $n\geq N(E'+M)$ y, por tanto,$a_n+b_n\to +\infty$.

Podría usted por favor, siga los mismos pasos para probar el caso cuando $a_n\to -\infty$?