Determinante de la suma de la matriz ortogonal con rango- $1$ matriz

Question

Cuál es el determinante de la suma de dos matrices

$$\det (G + S)$$

donde $S$ es todo ceros excepto una sola columna de $1$ 's?

$$S = \begin{bmatrix} 0 & ... & 0 & 1 & 0 & ... & 0 \\ 0 & ... & 0 & 1 & 0 & ... & 0 \\ \vdots & & \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\ 0 & ... & 0 & 1 & 0 & ... & 0 \\ \end{bmatrix}$$

Entiendo que esto se puede resolver dividiendo el determinante en columnas, pero no estoy seguro de cómo hacerlo. También, $S$ es claramente singular - ¿existe una regla general para el determinante de la suma de una matriz singular y no singular (es decir $G$ ortogonal $S$ singular)? Cualquier ayuda se agradece mucho

Esencialmente estoy preguntando qué ocurre con el determinante de una matriz cuando se añade $1$ a cada entrada de una columna. En concreto, me interesa el caso en el que $G$ es ortogonal con $\det(G) = -1$ . También me interesaría el caso en el que añadimos $1$ a una sola entrada.

Answer 1

Puedes utilizar las siguientes dos propiedades de los determinantes para responder a esto: \begin{align} &1.&\mathrm{det}\left[a_1,a_2,...,a_k+v_k,...,a_n\right] &= \mathrm{det}\left[a_1,a_2,...,a_k,...,a_n\right] + \mathrm{det}\left[a_1,a_2,...,v_k,...,a_n\right] \\ &2.&\mathrm{det}\left[a_1,a_2,...,\lambda a_k,...,a_n\right] &= \lambda \mathrm{det}\left[a_1,a_2,...,a_k,...,a_n\right] \end{align} donde $a_i$ , $v_k$ son columnas de tamaños adecuados y $\lambda \in \mathbb{R}$ . Ahora puedes generalizar tu problema a la siguiente pregunta:

Supongamos que $G$ es ortogonal con $\mathrm{det}\left(G\right) = -1$ y que $g_i$ sean las columnas de $G$ entonces cómo calculamos $\mathrm{det}\left[g_1,g_2,...,g_k+v_k,...,g_n\right]$ , donde $v_k$ es algún vector constante?

En primer lugar, ya que $G$ es ortogonal, existe $\alpha_i$ tal que $v_k = \sum^{n}_{i=1} g_i \alpha_i$ . Ahora puedes usar la primera propiedad y obtener: \begin{align} \mathrm{det}\left[g_1,g_2,...,g_k+v_k,...,g_n\right] &= \mathrm{det}\left[g_1,g_2,...,g_k+\sum^{n}_{i=1} g_i \alpha_i,...,g_n\right] \\ &=\mathrm{det}\left[g_1,g_2,...,\sum^{n}_{i=1,i\neq k} g_i \alpha_i,...,g_n\right]+\mathrm{det}\left[g_1,g_2,...,(1+\alpha_k)g_k,...,g_n\right]\\ &= (1+\alpha_k)\mathrm{det}\left[g_1,g_2,...,g_k,...,g_n\right]\\ &=-(1+\alpha_k) \end{align} También puede expresar $\alpha_k$ utilizando proyecciones ortogonales, $\alpha_k = \left(g_k^\mathrm{T}g_k\right)^{-1}g_k^\mathrm{T}v_k$ y así obtener \begin{align} \mathrm{det}\left[g_1,g_2,...,g_k+v_k,...,g_n\right] &= -1-\left(g_k^\mathrm{T}g_k\right)^{-1}g_k^\mathrm{T}v_k \end{align}

En su caso $v_k$ consta sólo de unos como elementos. Además, esta discusión también puede extenderse a las matrices generales $A$ por supuesto, pero como las matrices ortogonales eran su preocupación, esto es más corto.

Answer 2

Supongamos que tenemos una matriz invertible $\mathrm A \in \mathbb R^{n \times n}$ . Utilizando el Identidad determinante de Weinstein-Aronszajn ,

$$\det ( \,\mathrm A + 1_n \mathrm e_i^\top ) = \det(\mathrm A) \cdot \det ( \mathrm I_n + \mathrm A^{-1} 1_n \mathrm e_i^\top ) = \det(\mathrm A) \cdot ( 1 + \mathrm e_i^\top \mathrm A^{-1} 1_n )$$

Si $\rm A$ es ortogonal entonces $\det (\mathrm A) = \pm 1$ y $\mathrm A^{-1} = \mathrm A^\top$ . Por lo tanto,

$$\det ( \,\mathrm A + 1_n \mathrm e_i^\top ) = \pm ( 1 + \mathrm e_i^\top \mathrm A^\top 1_n ) = \pm ( 1 + 1_n^\top \mathrm A \, \mathrm e_i ) = \color{blue}{\pm ( 1 + 1_n^\top \mathrm a_i )}$$

donde $\mathrm a_i$ es el $i$ -en la columna de $\rm A$ . Así,

$$\det ( \,\mathrm A + \mathrm e_i \mathrm e_j^\top ) = \pm ( 1 + \mathrm e_j^\top \mathrm A^\top \mathrm e_i ) = \pm ( 1 + \mathrm e_i^\top \mathrm A \, \mathrm e_j ) = \color{blue}{\pm ( 1 + a_{ij} )}$$