Espero una $2\times 2$ ejemplo será suficiente para empezar :-)
Desde $\mathrm{fl}(a+b)=(a+b)(1+\delta_+)$ $\mathrm{fl}(a\times b)=ab(1+\delta_{\times})$ para escalares $a$ $b$ donde $|\delta_+|\leq u$ $|\delta_{\times}|\leq u$ con la unidad de redondeo $u$, tenemos
$$
\mathrm{fl}(AB)=
\begin{bmatrix}
a_{11}b_{11}(1+\delta_1) & (a_{11}b_{12}(1+\delta_2)+a_{12}b_{22}(1+\delta_3))(1+\delta_4) \\ 0 & a_{22}b_{22}(1+\delta_5)
\end{bmatrix}
$$
con $|\delta_i|\leq u$ ($i=1,\ldots,5$). Esto puede ser escrito como $\mathrm{fl}(AB)=\tilde{A}\tilde{B}$, donde
$$
\tilde{A}=\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12}(1+\delta_3)(1+\delta_4) \\ 0 & a_{22}(1+\delta_5)\end{bmatrix},
\quad
\tilde{B}=\begin{bmatrix} b_{11}(1+\delta_1) & b_{12}(1+\delta_2)(1+\delta_4) \\ 0 & b_{22} \end{bmatrix}.
$$
El siguiente se utiliza mucho en el error de redondeo de análisis: Vamos a $|\delta_i|\leq u$, $\sigma_i=\pm 1$ para $i=1,\ldots,n$ $nu<1$ (por supuesto, uno normalmente se supone que $nu$ es realmente mucho, mucho, mucho menor que 1). Entonces
$$
\prod_{i=1}^n(1+\delta_i)^{\sigma_i}=1+\epsilon_n,
$$
donde uno toma sólo el primer orden de aproximación:
$$
|\epsilon_n|\leq nu+O(u^2),
$$
o de una forma más precisa de la envolvente:
$$
|\epsilon_n|\leq \frac{nu}{1-nu} \equiv \gamma_n.
$$
La elección depende de las preferencias personales :-)
Utilizando la anterior tenemos que $\tilde{A}=A+E_A$, $\tilde{B}=B+E_B$ con global componente sabio límites
$$
|E_A|\leq \gamma_2|A|, \quad |E_B|\leq \gamma_2|B|.
$$
De esto ya se puede derivar de los límites de su norma. Desde el componente de sabios límites es bastante fácil de conseguir un enlace, por ejemplo, para el $\infty$norma:
$$
\|E_A\|_{\infty} = \||E_A|\|_{\infty} \leq \gamma_2\|||\|_{\infty} = \gamma_2\|\|_{\infty}.
$$
Si usted gusta de las otras normas, por ejemplo, el espectro de uno, usted puede simplemente utilizar la equivalencia de las relaciones de $\frac{1}{\sqrt{n}}\|A\|_{\infty}\leq\|A\|_2\leq\sqrt{n}\|A\|_{\infty}$. Tenga en cuenta que no será un factor adicional $n$ en los que resulta obligado, sin embargo:
$$
\|E_A\|_2 \leq 2n^2u\|\|_2 + O(u^2).
$$
Espero que esto ayude con el general de la $n\times n$ caso :-)
