Demostrar que el núcleo de un homomorphism es una de las principales ideal

Question

RG es un anillo de grupo y R es un anillo. Deje $f:RG\rightarrow R$ ser un homomorphism tal que $f(\sum r_ig_i) = \sum r_i$ . Demostrar que el núcleo de $f$ es un director ideal.

Answer 1

Deje $R$ a (conmutativa) de dominio, y deje $G = \mathbb{Z}^2$, por lo que el $R[G] = R[X, X^{-1}, Y, Y^{-1}]$. El kernel $I = \ker f = (1 - X, 1 - Y)$. Supongamos $I$ que es lo principal, por lo que el $I = (\alpha)$ algunos $\alpha\in R[X, Y]$. Suponer sin pérdida de generalidad que $X, Y\!\not|\, \alpha$. A continuación, $\alpha | (1 - X) X^n Y^m$ $\alpha | (1 - Y)X^{n'} Y^{m'}$ $R[X, Y]$ algunos $n, m, n', m'$. Desde $R[G]/I = R$ es un dominio, $I$ es primo. Por lo tanto $\alpha |(1 - X)$$\alpha | (1 - Y)$$R[X, Y]$, obligando a $\alpha\in R$. Pero, a continuación, $I$ contiene $X\in R[G]$, lo que evidentemente no es en $I$.