Es significativo para tomar la derivada de una función no-número entero de veces?

Question

Si quiero tomar la derivada de $ax^n$, voy a tener $anx^{n-1}$. Si yo fuera a tomar la derivada de nuevo, llego $an(n-1)x^{n-2}$.
Podemos generalizar esto para un entero k fácilmente para obtener la kth derivado $a\frac{n!}{(n-k)!} x ^{n-k}$. Pero, ¿qué acerca de una más general k?

¿Tiene esto algún nombre? Ha sido ampliamente estudiado? Si es así, se puede mostrar cómo generalizar esta fórmula para kth derivado de la $ax^n$, y explicar cómo funciona? Si no, hay una buena razón por la que es imposible?

Answer 1

Para ampliar Jonas comentario: Sí, tiene sentido. Para el caso de la función de potencia, se puede considerar

$$\frac{\Gamma(n+1)}{\Gamma(n-\alpha+1)}x^{n-\alpha}$$

como el $\alpha$-ésima derivada de la función de potencia $x^n$ donde $\Gamma(z)$ es la función gamma, la generalización del factorial para el plano complejo.

En general, uno tiene una serie de definiciones para las llamadas "fracciones de derivados", o, como Spanier y Oldham prefieren llamarlo, el "differintegral". Los valores negativos de $\alpha$ en expresiones como la dada anteriormente corresponden a la integración, los valores positivos corresponden a la diferenciación, y, en general, $\alpha$ puede ser complejo.

Hay un montón de cosas para ver (Caputo derivados, Riemann-Liouville integrales, Grunwald-Lednikov de la serie), y yo sugiero que busque en el libro I vinculada a la primera, y luego busca en la web. Divertirse!

Answer 2

He aquí un blog que motiva a una definición de la fracción de derivados en términos de transformadas de Fourier.