Dado un número$S$, ¿cómo podemos encontrar la mayor $P$ tal de que no existen números naturales $a$, $b$, & $c$
donde$a + b + c = S$$a \times b \times c = P$?
Respuesta
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Un problema más sencillo, maximizar el producto de dos números naturales cuya suma es fijo, se puede utilizar para resolver este (que implican un producto de tres sumandos).
Es decir, en el caso de que dos números (positivos) suma fija, que su producto es maximizada por haciéndolos casi como iguales como sea posible. De hecho, si $u+v = S$, el máximo de producto $uv$ es obtenida por la toma de $u = \lfloor S/2 \rfloor$$v = \lceil S/2 \rceil$.
Supongo que ahora $a+b+c = S$ donde $a,b,c$ son números naturales (cero incluido en aras de la simplicidad). Entonces cualquier par de $a,b,c$ diferir por más que uno, se puede aumentar el producto $abc$ mediante el ajuste de la pareja para estar más cerca de la igualdad! Esto deja a la suma fija, pero aumenta el producto (a menos que el producto se ve obligado a ser cero, porque $S \lt 3$).
De ello se desprende que $abc$ es maximizada (por suma fija $a+b+c=S$) cuando no hay dos de los sumandos difieren por más de uno. Dependiendo del residuo de $S$ mod $3$, esto podría significar:
(1) Si $S \equiv 0 \bmod 3$, luego tome $a=b=c=S/3$.
(2) Si $S \equiv 1 \bmod 3$, luego tome dos de $a,b,c$ $\lfloor S/3 \rfloor$ y el tercer sumando a ser $\lceil S/3 \rceil$.
(3) Si $S \equiv 2 \bmod 3$, luego tome dos de $a,b,c$ $\lceil S/3 \rceil$ y el tercer sumando a ser $\lfloor S/3 \rfloor$.
