Algebraicas Henselian extensiones de los racionales

Question

Deje $p$ ser una prima fija, $v:\mathbb{Q}\rightarrow\mathbb{Z}$ $p$- ádico de valoración en $\mathbb{Q}$ $\mathbb{Q}^h$ el Henselization de $\mathbb{Q}$ con respecto al $v$. Quiero mostrar que para cada entero $n$ hay sólo un número finito de extensiones algebraicas de $\mathbb{Q}^h$ grado $n$.

Sé que el unramified extensiones de $Q^h$ corresponden a extensiones por las raíces de $X^q-X$ adecuado $q$.

Sé que el totalmente ramificado extensiones de $Q^h$ corresponden a extensiones por las raíces de Eisenstein polinomios.

Yo también creo que debe utilizar Krasner del lema (para Henselian valoraciones) en algún momento. (He visto una prueba donde $Q^h$ es reemplazado por $Q_p$, pero sin que la integridad no puedo hacer que funcione.)

¿Alguien tiene alguna pista o referencias? Gracias, Conrad.

Answer 1

Sí, Krasner del Lexema tiene para Henselian (rango de uno) valoraciones. La declaración y la prueba de KL en $\S 3.5$ de estas notas es en ese contexto. El punto clave es que una valoración $v$ $K$ es Henselian iff se extiende exclusivamente a cada finito grado de extensión de campo $L/K$.

Para establecer el básico de la finitud resultado, sin embargo, creo que uno debe primero demostrar que más de $\mathbb{Q}_p$ por una compacidad argumento como en el Teorema 14 aquí y, a continuación, utilice el hecho de que el Henselization $\mathbb{Q}^h$ $\mathbb{Q}$ con respecto al $p$-ádico de valoración es la clausura algebraica de $\mathbb{Q}$$\mathbb{Q}_p$. De ello se sigue que si $K_1$ $K_2$ son dos campos de número tal que $K_1 \otimes_{\mathbb{Q}} \mathbb{Q}_p$ $K_2 \otimes_{\mathbb{Q}} \mathbb{Q}_p$ son isomorfos $p$-ádico campos, ya $K_1 \otimes_{\mathbb{Q}} \mathbb{Q}^h \cong K_2 \otimes_{\mathbb{Q}} \mathbb{Q}^h$.

Answer 2

Elaborar Pete, L. Clark respuesta: una gran cantidad de resultados indicados en la teoría algebraica de números libros para completar valores de los campos (con, digamos, un discreto valoración) funcionan igual de bien para henselian campos (tales como los números algebraicos en $\mathbb{Q}_p$).

¿Por qué es esto? En este ejemplo en particular, el argumento es que si $K$ es un henselian campo (w/ una discreta valoración, dicen) y $L$ de un número finito de extensión separable, entonces la valoración en $K$ se extiende únicamente a $L$. La prueba usual de este hecho en el caso de que, básicamente, de un argumento basado en la equivalencia de todas las normas que en un determinado espacio tridimensional sobre un campo -- no (a menos que me estoy perdiendo algo?) el trabajo aquí sin integridad hipótesis.

Pero el resultado es true. A saber, el punto es que si $O$ es el anillo de enteros en $K$, $O$ es un henselian anillo. Una manera de expresar esto es que Hensel del lexema tiene por $O$, pero más transparente es que cualquier finito $O$-álgebra divisiones como un producto directo de locales $O$-álgebras. (Usted puede encontrar útil de Raynaud libro "Anneaux locaux henseliens," o sec. 4 de http://people.fas.harvard.edu/~amathew/chcompletion.pdf, aquí la equivalencia de las dos afirmaciones.)

Ahora si $O'$ es la integral de cierre de $O$$L$, entonces sabemos $O$ es finita $O'$-módulo, por lo que en particular se desdobla como un producto de los locales de los anillos. Sin embargo, es un dominio! De ello se desprende que $O'$ es en sí mismo local, y, en consecuencia, un discreto anillo de valoración en sí mismo. En otras palabras, el ideal maximal de a $O$ se extiende precisamente en una forma de $O'$ (esto es equivalente a $O'$ por ser local). Pero estas extensiones de máxima ideales corresponden precisamente a las extensiones de las valoraciones $L$, con lo que obtenemos la demanda.

La moraleja de la historia es que es muy cierto para completar valores de los campos es cierto para henselian campos, porque esto (la singularidad de extensiones) es una propiedad clave de los campos completos de las declaraciones en la teoría algebraica de números.