Canónica a paramétrica, ecuación de elipse

Question

He hecho algunos trucos de álgebra en esta derivación y no estoy seguro de si está bien hacer esas cosas.

$$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ $$$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = \cos^2\theta + \sin^2\theta$ $

¿Realmente puedo hacer este próximo paso?
ps

$$\frac{x^2}{a^2} = \cos^2\theta\quad\text{and}\quad\frac{y^2}{b^2} = \sin^2\theta$ $ Ignorando los números negativos:$$x^2 = a^2\cos^2\theta\quad\text{and}\quad y^2 = b^2\sin^2\theta$ $

Answer 1

La idea detrás de su argumento es absolutamente bien. Cualquiera de los dos no números negativos $u$ $v$ tal que $u+v=1$ puede ser expresado como $u=\cos^2\theta$, $v=\sin^2\theta$ para algunos $\theta$. Esto es tan obvio que es probable que no requiere prueba. Set $u=\cos^2\theta$. A continuación,$v=1-\cos^2\theta=\sin^2\theta$.

La segunda fórmula que se muestra enturbia las cosas un poco. Usted pretende decir que si $x^2/a^2+y^2/b^2=1$, entonces no existe un $\theta$ tal que $x^2/a^2=\cos^2\theta$$y^2/b^2=\sin^2\theta$. No significa que para cualquier $\theta$ si $x^2/a^2+y^2/b^2=1$$x^2/a^2=\cos^2\theta$! Pero la transición de la segunda muestra la ecuación a la tercera podría interpretarse como la afirmación de lo que claramente no tenía la intención de decir.

Sería mejor hacer exactamente lo que hizo, pero el uso de más lenguaje geométrico, de la siguiente manera. $$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 \quad\text{iff}\quad \left(\frac{x}{a}\right)^2 + \left(\frac{y}{b}\right)^2=1.$$

Pero la ecuación de la derecha tiene el fib el punto de $(x/a, y/b)$ se encuentra en el círculo unidad. Los puntos sobre el círculo unidad son parametrizadas por $(\cos \theta,\sin\theta)$, $\theta$ van más de $[0,2\pi)$, por lo que los puntos de nuestra elipse están dadas por $x=a\cos\theta$, $y=a\sin\theta$.

Answer 2

Que tipo de "bien" ¿tu objetivo aquí -- generalmente es "bueno" para el uso de complicados pasos para encontrar una respuesta, si eres capaz de demostrar que es correcta una vez que usted sabe lo que es.

Haciendo las matemáticas tiene dos partes: (1) usted tiene que averiguar qué probar, y (2) que usted necesita para probar realmente es. La última parte es una ciencia exacta; ha claras y estrictas reglas de lo que está permitido y lo que no lo es, y es el que normalmente se obtiene toda la prensa. Sin embargo, el primero no es menos importante. A veces es más fácil y a veces más, pero sus reglas son muy diferentes, a saber: todo se vale! Sí, la verdad. No importa cómo usted consiguió la idea para probar tal-y-tal, la única cosa que importa es que usted puede entregar en la fase 2 (y los que lo probaron, a continuación, resulta ser útil en el contexto de cualquier problema con el que tenía originalmente, pero ese es otro asunto).

A veces, el proceso por el cual llegar a la-cosa-a-probar que es tan sencillo que se puede leer una prueba directamente con esencialmente ningún esfuerzo. A los maestros les encanta estos casos (y a veces dar la impresión de que son todos los que hay), porque hacen que las cosas se ven bien y ordenado, y son fáciles de grado. Pero en la matemática real, no hay ninguna vergüenza en absoluto menor utilización de métodos directos para encontrar la respuesta a probar corregir más adelante. No importa si usted dividido por cero con el fin de encontrar, o si un ángel se le apareció en un sueño y le dijo: si usted puede proporcionar una prueba de que la respuesta está justo al final de la jornada, a continuación, que es "correcto", no importa cómo lo encontró.

Así que no es realmente significativo para pedir una manera "correcta" para llegar a la parametrización. Lo importante, una vez que han dado el salto de fe para separar las dos sumas, es demostrar que el resultado es correcto, es decir, que la imagen de su curva paramétrica es exactamente el conjunto de soluciones de la ecuación original.

Un lado de esto es simple. Si sustituimos las expresiones para $x$ $y$ en la ecuación, obtenemos $$\frac{(a\cos\theta)^2}{a^2} + \frac{(b\sin\theta)^2}{b^2} = 1$$ y es entonces una simple cuestión de riguroso, pero sin inspiración de reescritura para demostrar que esto es de hecho una identidad. (Este tipo de verificación es lo que normalmente se entiende por "por inspección"). Ahora hemos demostrado que la imagen de su curva es un subconjunto del conjunto de soluciones.

A continuación, se mantiene a demostrar que el conjunto de soluciones es un subconjunto de la imagen de la curva. A asumimos que algunos determinado $x$ $y$ satisfagan la ecuación y, a continuación, pretenden demostrar que no debe existir una $\theta$ tal que $x=a\cos\theta$$y=b\sin\theta$. ¿Cómo hacemos esto? Bueno, en este momento de la noche lo mejor que puedo pensar de algunos horriblemente sucio análisis de casos en las diferentes combinaciones de los signos de $x$$y$, con casos especiales si uno de ellos es 0 y en caso contrario, algo como $\arctan(\frac{ay}{bx})$ subir a algún lugar, posiblemente un lexema demostrando que $(tx,ty)$ sólo puede ser una solución si $|t|=1$ será necesario a lo largo del camino. Si iba a salir con el tiempo, pero no sería bastante. Ni siquiera voy a tratar de conseguir todos los detalles a la derecha justo ahora.

Tal vez usted puede encontrar un impermeable argumento. Tal vez no hay ninguno. Tal vez el público va a ser feliz con una más handwavy argumento de que la estoy imaginando.

Answer 3

Si comienzas con la línea que escribiste al final y trabajas hacia atrás hasta la ecuación de la elipse que escribiste en la parte superior, entonces tu lógica está bien.

(Pero si su pregunta se edita después de que aparece esta respuesta, entonces esta respuesta podría estar equivocada después de eso. Ha sucedido aquí antes).