integral de 0 a $2\pi$ $|\cos x|\operatorname{d}x$ no integrar como ' d esperar

Question

Dibujé un boceto de $|\cos x|$ e imagino que la respuesta correcta a esta integral es$4$, porque sé que el área bajo la curva de $\cos x$$0$$\pi/2$$1$, y $4$ áreas bajo $|\cos x|$$0$$2\pi$.

Así que si me reescribir la integral como ($4$ $\times$ integral de $0$ a $\pi/2$ $|\cos x|\operatorname{d}x$) tengo la respuesta que esperaba. Lo que yo no entiendo es por qué este evalúa correctamente cuando el original no. ¿Tiene algo que ver con la antiderivada de una absoluta función trigonométrica? Yo he estado diciendo es $|\sin x|$ en este caso - esto es realmente incorrecto?

¿Qué es lo que tengo que mirar hacia fuera para en casos como este?

Answer 1

Sí, es incorrecta para tratar de tomar la $|\sin x|$ como una antiderivada. Por ejemplo, observe que $|\sin(x)|$ es la disminución en el $(\pi/2,\pi)$, por lo que su derivada no es negativo, mientras que $|\cos(x)|$ nunca es negativo. Su conjetura es correcta sobre el valor de ser 4 veces la integral de$0$$\pi/2$.

Una forma de evaluar es por escribir la integral como $$\int_0^{\pi/2}|\cos x|dx +\int_{\pi/2}^{3\pi/2}|\cos x|dx +\int_{3\pi/2}^{2\pi}|\cos x|dx,$$ los intervalos de haber sido elegido donde $\cos$ tiene signo constante. En cada integral, el valor absoluto de los signos puede ser eliminado, y un signo menos debe agregarse cuando proceda.

Esta es una típica forma de afrontar los problemas con valores absolutos. Usted a menudo puede romper el dominio que, según el signo de lo que está dentro de los valores absolutos de conseguir varias expresiones más simples.