¿Cómo puedo encontrar $$\lim_{x\to 0}\frac{(x+4)^{3/2}+e^x-9}{x}$$ ¿sin la regla de l'hôpital? Sé que por l'hôpital la respuesta es 4.
Ese es el enfoque que yo habría sugerido.
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zhw.
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¿No es esto literalmente la regla de l'Hopital con la conveniencia añadida de que la función en el denominador resulta ser $x$ en lugar de algunos $h(x)$ ?
@LLlAMnYP: No la regla de L'Hospital funciona diferenciando y luego tomando un límite. Aquí se acaba de demostrar que el límite en cuestión es una derivada a saber $(f - g)'(0)$ para que sea adecuado $f, g$ . Reconocer un límite como una derivada y reconocer un $0/0$ La forma indeterminada y la aplicación posterior de L'Hospital sobre ella son dos cosas diferentes y la primera es más sencilla. En general utilizando la Regla de L'Hospital para evaluar límites del tipo $\lim_{x \to a}\dfrac{f(x) - f(a)}{x - a}$ es una mala idea y puede no funcionar siempre.
LLlAMnYP
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El límite no se puede encontrar utilizando ni expansiones de Taylor, ni derivadas, sino con enfoques mucho más básicos.
En primer lugar, una consecuencia del conocido límite
$$ \lim_{x\rightarrow0} \left(1 +\frac{1}{x}\right)^x = e$$
es
$$ \lim_{x\rightarrow0} \frac{e^x -1}{x} = 1 $$
por lo que el límite en OP es igual a
$$ 1 + \lim_{x\rightarrow0} \frac{(x+4)^{3/2} -8}{x} $$
mientras exista el segundo término. Calculamos el segundo término como
$$ \lim_{x\rightarrow0} \frac{((x+4)^{3/2}-8)((x+4)^{3/2}+8)}{x((x+4)^{3/2}+8)} = \lim_{x\rightarrow0} \frac{(x+4)^3-64}{x((x+4)^{3/2}+8)} = \\ \lim_{x\rightarrow0} \frac{(x+4)^3-64}{x} \lim_{x\rightarrow0} \frac{1}{((x+4)^{3/2}+8)} = \frac{1}{16} \lim_{x\rightarrow0}\frac{48x+12x^2+x^3}{x}=\frac{48}{16}=3$$
donde de nuevo la transición de la primera línea a la segunda es válida mientras existan ambos límites (que, como ves, existen).
El teorema de Taylor es independiente de la regla de L'Hospital. Hay una prueba que utiliza la regla de L'Hospital, pero no los hace equivalentes. También hay otras pruebas.
@ParamanandSingh es más que probable que tengas razón. Este problema me retrotrajo a un examen de cálculo con un límite simple $\lim_{x\rightarrow0}\frac{\sin 5x}{\sin 7x}$ que se haga sin l'Hopital. Los intentos de hacerlo con Taylor también se consideraron, por alguna razón, implícitamente fuera de los límites. Así que tuvimos que partir de $\lim_{x\rightarrow0}\frac{\sin x}{x}$
Ese límite particular puede hacerse simplemente utilizando las fórmulas de $\sin 5x,\sin 7x$ en términos de $\sin x$ . Tenga en cuenta que si $n$ es impar entonces $\sin nx=n\sin x+\dots$ y $\sin x$ se puede sacar como factor. Anulándolo obtenemos el límite $5/7$ . Vea también esta respuesta math.stackexchange.com/a/2101475/72031
Claude Leibovici
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Menos elegante que la respuesta de zhw'x.
Para $(x+4)^{3/2}$ , utilice el teorema del binomio generalizado de la expansión de Taylor $$(x+4)^{3/2}=8+3 x+\frac{3 x^2}{16}+O\left(x^3\right)$$ Utilizando la expnasión estándar de Taylor de $e^x$ entonces tenemos $$(x+4)^{3/2}+e^x-9=\left(8+3 x+\frac{3 x^2}{16}+O\left(x^3\right) \right)+\left( 1+x+\frac{x^2}{2}+O\left(x^3\right)\right)-9$$ $$(x+4)^{3/2}+e^x-9=4 x+\frac{11 }{16}x^2+O\left(x^3\right)$$ $$\frac{(x+4)^{3/2}+e^x-9}{x}=4 +\frac{11 }{16}x+O\left(x^2\right)$$ que muestra el límite y cómo se aproxima a él.
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He probado con conjugados porque la ecuación x+4 es técnicamente una raíz cuadrada pero no ha funcionado.
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Aparte de eso he estado buscando en Google y tratando de encontrar métodos (y descifrar la pista sugerida a continuación)
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Para ayudar a explicar la pista, $\lim_{x\to 0}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=f'(0)$ por la definición de derivada.