El juego de probabilidad con tres jugadores ganadores y perdedores no es igual a 1

Question

Tengo un juego de cartas numeradas del 1 al 10. Tres jugadores de cartas, la carta más alta gana. Las tarjetas no son reemplazados.

El primer jugador saca un 9. Quiero trabajar la probabilidad de que el jugador de ganar y perder.

La probabilidad de ganar es el producto de los otros dos jugadores recoger las cartas más bajas en este caso

$$\frac{8}{9} \cdot \frac{7}{8} = \frac{56}{72}$$

La probabilidad de ganar es la probabilidad de que sea el jugador saca una carta más alta (el diez)

$$\frac{1}{9} + \frac{1}{8} = \frac{17}{72}$$

Dado que el jugador 1 sólo se puede ganar o perder y no hay manera de que no puede haber un empate ¿por qué estas probabilidades agregar para hacer más de uno?

Yo he probado un par de valores diferentes y que siempre salen a más de uno.

Answer 1

La probabilidad de perder no es correcta. En tal caso, hay dos casos posibles sobre los jugadores restantes:

1) El primer jugador roba una carta más baja (esta es la parte que olvidaste en la pregunta) y la segunda una carta más alta;

2) El primer jugador roba una carta más alta y la segunda una carta más baja.

De este modo,

$\Pr[lose] = \Pr[2^{nd} \; player\; wins] + \Pr[1^{st}\; player\; wins] = \frac{8}{9} \times \frac{1}{8} + \frac{1}{9} \times \frac{8}{8} = \frac{16}{72}$

Usted suma todo y se suma a$1$.

Answer 2

La probabilidad de este último es$$\frac19 + \frac89 \times \frac18 = \frac29$ $ porque ganar del tercer jugador indica que el segundo jugador no sacó un 10, por lo que debemos multiplicar esta probabilidad. Finalmente, $\frac{56}{72} + \frac29 = 1$.