Condición en $g$ tal que $g\circ f$ es siempre continua.

Question

Esta tarde he tenido un examen y una pregunta era:

¿Existe una función $g:\mathbb R\to\mathbb R$ tal que para cualquier función $f:\mathbb R\to\mathbb R$ (no necesariamente continua) la función $h=g\circ f$ es continua?

Creo que no, pero no soy capaz de demostrarlo.

Answer 1

¿Qué opina de la función $g:\mathbb R\to\mathbb R$ definido por $g(x)=0$ para todos $x\in\mathbb R$ ?

Answer 2

Qué funciones $g$ hacer $g\circ f$ continua si $f$ se define como $$f(x)=\begin{cases}\alpha &&\text{if }x=0\\ \beta &&\text{if }x\neq 0\end{cases}$$ de verdad $\alpha$ y $\beta$ ? Es decir, ¿cuándo es $$(g\circ f)(x)=\begin{cases}g(\alpha)&&\text{if }x=0\\g(\beta)&&\text{if }x\neq 0 \end{cases}$$ ¿constantemente? ¿Cuándo es continua para todos $\alpha$ y $\beta$ ?