Supongamos que tenemos el siguiente sistema dinámico $$x'=(\epsilon x+2y)(1+z)$$ $$y'=(-x+\epsilon y)(1+z)$$ $$z'=-z^3$$ Entonces, ¿cómo puedo demostrar que cualquier solución que se inició a partir de la región de $z>-1$ tiende a ser el único equilibrio de este sistema, de origen? Desde que estoy tratando de verificar el teorema de Liapunov para este caso quiero no utilizar el teorema de Liapunov para mostrar esto. A mi juicio fue dejando $m=\frac{y}{x}$, de modo que $$x=Ce^{-{\epsilon\over\sqrt{2}}\arctan(\sqrt{2}m)}\frac{1}{\sqrt{2m^2+1}}$$ y $$y=mx$$ y se utiliza el hecho de que la solución se mantiene sprialing en el origen por lo $m$debe $\infty$ en algún momento, de modo que $x$ se convierte en cero. Pero esta prueba tiene una gran cantidad de lagunas y no es tan convincente. ¿Cómo puedo mostrar rigurosamente, o al menos sin las graves deficiencias?
Respuesta
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Deje $A(u,v)=(\epsilon u+2v,-u+\epsilon v)$, $(x',y')=A(x,y)\cdot(1+z)$ $z'=-z^3$ por lo tanto $(x,y)$ se queda en las trayectorias del sistema $(u',v')=A(u,v)$, sólo, con un tiempo de cambio y, posiblemente, girando hacia atrás. El (trivial) diagrama de fase de $z'=-z^3$ muestra que, por cada punto de partida, $z\to0$ por lo tanto, después de un tiempo, $\frac12\leqslant z+1\leqslant2$ y no hay más punto de inflexión.
Los autovalores de la $(u,v)$ sistema lineal se $\epsilon\pm\mathrm i\sqrt2$ por lo tanto:
- Si $\epsilon\lt0$, $(x,y,z)\to(0,0,0)$
- Si $\epsilon=0$, $z\to0$ $(x,y)$ círculos alrededor de $(0,0)$ en la elipse $x^2+2y^2=x_0^2+2y_0^2$ de las agujas del reloj
- Si $\epsilon\gt0$$(x_0,y_0)=(0,0)$, $(x,y,z)\to(0,0,0)$ desde $(x,y)=(0,0)$ uniforme y $z\to0$
- Si $\epsilon\gt0$$(x_0,y_0)\ne(0,0)$, $z\to0$ $(x,y)$ explota en el sentido de que $\|x\|\to\infty$ $\|y\|\to\infty$
