Cómo asignar coordenadas a los elementos de un espacio métrico plano

Question

Considerar el espacio métrico $(M, d \,)$ establecimiento $M$ contiene muchos arañazos (al menos cinco) elementos distintos,
y considerar la asignación de $c_f$ de coordenadas a (los elementos) set $M$,

$c_f \, : \, M \leftrightarrow {\mathbb{R}}^3; \, c_f[ P ] := \{ x_P, y_P, z_P \}$

tal que las distintas coordenadas son los valores asignados a los distintos elementos de $M$, y
de tal manera que durante la función

$f \, : \, ({\mathbb{R}}^3 \times {\mathbb{R}}^3) \rightarrow {\mathbb{R}};$
$f[ \{ x_P, y_P, z_P \}, \{ x_Q, y_Q, z_Q \} ] := $ ${\sqrt{ (x_Q - x_P)^2 + (y_Q - y_P)^2 + (z_Q - z_P)^2 }} \equiv {\sqrt{ \sum_{ k \in \{ x \, y \, z \} } (k_Q - k_P)^2 }}$

y para cualquiera de los tres elementos distintos $A$, $B$, y $J$ $\in M$ tiene

$f[ c_f[ A ], c_f[ J ] ] \, d[ B, J ] = f[ c_f[ B ], c_f[ J ] ] \, d[ A, J ]$.

Es el espacio métrico $(M, d \,)$ por lo tanto plana?

(es decir, en el sentido de la desaparición de Cayley-Menger determinantes de las relaciones de distancia entre cualquiera de los cinco elementos del conjunto $M$.)

Answer 1

Sí, si las coordenadas (número real triples) $c_f$ puede ser assigend a los elementos de $M$ como se requiere en el estado de la cuestión, dado que las distancias (ratios) $d$ y la función $f$ como se describió anteriormente, a continuación, el espacio métrico $(M, d \,)$ plano.

Porque: para cualquier de los quince (real) de los números, $\{ x_\alpha, y_\alpha, z_\alpha \}$, $\{ x_\beta, y_\beta, z_\beta \}$, $\{ x_\gamma, y_\gamma, z_\gamma \}$, $\{ x_\phi, y_\phi, z_\phi \}$ y $\{ x_\lambda, y_\lambda, z_\lambda \}$ el siguiente determinante se desvanece

0 = $ \begin{array}{|cccccc|} 0 & {\small{\sum\limits_{ k \in \{ x \, y \, z \} } (k_\alpha - k_\beta)^2}} & {\small{\sum\limits_{ k \in \{ x \, y \, z \} } (k_\alpha - k_\gamma)^2}} & {\small{\sum\limits_{ k \in \{ x \, y \, z \} } (k_\alpha - k_\phi)^2}} & {\small{\sum\limits_{ k \in \{ x \, y \, z \} } (k_\alpha - k_\lambda)^2}} & 1 & \\ {\small{\sum\limits_{ k \in \{ x \, y \, z \} } (k_\beta - k_\alpha)^2}} & 0 & {\small{\sum\limits_{ k \in \{ x \, y \, z \} } (k_\beta - k_\gamma)^2}} & {\small{\sum\limits_{ k \in \{ x \, y \, z \} } (k_\beta - k_\phi)^2}} & {\small{\sum\limits_{ k \in \{ x \, y \, z \} } (k_\beta - k_\lambda)^2}} & 1 & \\ {\small{\sum\limits_{ k \in \{ x \, y \, z \} } (k_\gamma - k_\alpha)^2}} & {\small{\sum\limits_{ k \in \{ x \, y \, z \} } (k_\gamma - k_\beta)^2}} & 0 & {\small{\sum\limits_{ k \in \{ x \, y \, z \} } (k_\gamma - k_\phi)^2}} & {\small{\sum\limits_{ k \in \{ x \, y \, z \} } (k_\gamma - k_\lambda)^2}} & 1 & \\ {\small{\sum\limits_{ k \in \{ x \, y \, z \} } (k_\phi - k_\alpha)^2}} & {\small{\sum\limits_{ k \in \{ x \, y \, z \} } (k_\phi - k_\beta)^2}} & {\small{\sum\limits_{ k \in \{ x \, y \, z \} } (k_\phi - k_\gamma)^2}} & 0 & {\small{\sum\limits_{ k \in \{ x \, y \, z \} } (k_\phi - k_\lambda)^2}} & 1 & \\ {\small{\sum\limits_{ k \in \{ x \, y \, z \} } (k_\lambda - k_\alpha)^2}} & {\small{\sum\limits_{ k \in \{ x \, y \, z \} } (k_\lambda - k_\beta)^2}} & {\small{\sum\limits_{ k \in \{ x \, y \, z \} } (k_\lambda - k_\gamma)^2}} & {\small{\sum\limits_{ k \in \{ x \, y \, z \} } (k_\lambda - k_\phi)^2}} & 0 & 1 & \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & \end{array}$.

En consecuencia, para cualquier de los cinco elementos distintos $A$, $B$, $J$, $K$ y $Q$ $\in M$ tiene

0 = $ \begin{array}{|cccccc|} 0 & \left(\frac{f[ c_f[ A ], c_f[ B ] ]}{f[ c_f[ A ], c_f[ B ] ]}\right)^2 & \left(\frac{f[ c_f[ A ], c_f[ J ] ]}{f[ c_f[ A ], c_f[ B ] ]}\right)^2 & \left(\frac{f[ c_f[ A ], c_f[ K ] ]}{f[ c_f[ A ], c_f[ B ] ]}\right)^2 & \left(\frac{f[ c_f[ A ], c_f[ Q ] ]}{f[ c_f[ A ], c_f[ B ] ]}\right)^2 & 1 & \\ \left(\frac{f[ c_f[ B ], c_f[ A ] ]}{f[ c_f[ A ], c_f[ B ] ]}\right)^2 & 0 & \left(\frac{f[ c_f[ B ], c_f[ J ] ]}{f[ c_f[ A ], c_f[ B ] ]}\right)^2 & \left(\frac{f[ c_f[ B ], c_f[ K ] ]}{f[ c_f[ A ], c_f[ B ] ]}\right)^2 & \left(\frac{f[ c_f[ B ], c_f[ Q ] ]}{f[ c_f[ A ], c_f[ B ] ]}\right)^2 & 1 & \\ \left(\frac{f[ c_f[ J ], c_f[ A ] ]}{f[ c_f[ A ], c_f[ B ] ]}\right)^2 & \left(\frac{f[ c_f[ J ], c_f[ B ] ]}{f[ c_f[ A ], c_f[ B ] ]}\right)^2 & 0 & \left(\frac{f[ c_f[ J ], c_f[ K ] ]}{f[ c_f[ A ], c_f[ B ] ]}\right)^2 & \left(\frac{f[ c_f[ J ], c_f[ Q ] ]}{f[ c_f[ A ], c_f[ B ] ]}\right)^2 & 1 & \\ \left(\frac{f[ c_f[ K ], c_f[ A ] ]}{f[ c_f[ A ], c_f[ B ] ]}\right)^2 & \left(\frac{f[ c_f[ K ], c_f[ B ] ]}{f[ c_f[ A ], c_f[ B ] ]}\right)^2 & \left(\frac{f[ c_f[ K ], c_f[ J ] ]}{f[ c_f[ A ], c_f[ B ] ]}\right)^2 & 0 & \left(\frac{f[ c_f[ K ], c_f[ Q ] ]}{f[ c_f[ A ], c_f[ B ] ]}\right)^2 & 1 & \\ \left(\frac{f[ c_f[ Q ], c_f[ A ] ]}{f[ c_f[ A ], c_f[ B ] ]}\right)^2 & \left(\frac{f[ c_f[ Q ], c_f[ B ] ]}{f[ c_f[ A ], c_f[ B ] ]}\right)^2 & \left(\frac{f[ c_f[ Q ], c_f[ J ] ]}{f[ c_f[ A ], c_f[ B ] ]}\right)^2 & \left(\frac{f[ c_f[ Q ], c_f[ K ] ]}{f[ c_f[ A ], c_f[ B ] ]}\right)^2 & 0 & 1 & \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & \end{array}$;

y por lo tanto también

0 = $ \begin{array}{|cccccc|} 0 & \left(\frac{d[ A, B ]}{d[ A, B ]}\right)^2 & \left(\frac{d[ A, J ]}{d[ A, B ]}\right)^2 & \left(\frac{d[ A, K ]}{d[ A, B ]}\right)^2 & \left(\frac{d[ A, Q ]}{d[ A, B ]}\right)^2 & 1 & \\ \left(\frac{d[ B, A ]}{d[ A, B ]}\right)^2 & 0 & \left(\frac{d[ B, J ]}{d[ A, B ]}\right)^2 & \left(\frac{d[ B, K ]}{d[ A, B ]}\right)^2 & \left(\frac{d[ B, Q ]}{d[ A, B ]}\right)^2 & 1 & \\ \left(\frac{d[ J, A ]}{d[ A, B ]}\right)^2 & \left(\frac{d[ J, B ]}{d[ A, B ]}\right)^2 & 0 & \left(\frac{d[ J, K ]}{d[ A, B ]}\right)^2 & \left(\frac{d[ J, Q ]}{d[ A, B ]}\right)^2 & 1 & \\ \left(\frac{d[ K, A ]}{d[ A, B ]}\right)^2 & \left(\frac{d[ K, B ]}{d[ A, B ]}\right)^2 & \left(\frac{d[ K, J ]}{d[ A, B ]}\right)^2 & 0 & \left(\frac{d[ K, Q ]}{d[ A, B ]}\right)^2 & 1 & \\ \left(\frac{d[ Q, A ]}{d[ A, B ]}\right)^2 & \left(\frac{d[ Q, B ]}{d[ A, B ]}\right)^2 & \left(\frac{d[ Q, J ]}{d[ A, B ]}\right)^2 & \left(\frac{d[ Q, K ]}{d[ A, B ]}\right)^2 & 0 & 1 & \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & \end{array}$.

Por lo tanto, el (normalizada) de Cayley-Menger determinantes de las relaciones de distancia entre cualquiera de los cinco elementos del conjunto $M$ se desvanece; el espacio métrico $(M, d \,)$ plano. (Sin embargo, el espacio métrico $(M, d \,)$ es entonces todavía no necesariamente avión, o incluso en línea recta.)

La adecuada asignación de número real triples $c_f$ a los elementos de cualquier plano de espacio métrico, junto con la describe la función$f$, por lo que ofrece una buena (escala isométrica) la representación de los planos de espacio métrico.