¿Si $G$ es un grupo finito de orden $n$ y $n$ es el mínimo que $g^n=1$ % todo $g \in G$?

Question

Sé que si el orden de un grupo finito $G$ es $n$ $g^n=1$ % todos $g\in G$. Pero, ¿es $n$ el entero más pequeño que satisface esa propiedad? ¿Hay otro $m<n g="" gracias="" que="" tal="" todo=""></n>

Answer 1

Un grupo finito de orden $n$ tendrá exponente $n$ si y sólo si sus Subgrupos de Sylow son cíclicos para cada $p|n$.

Supongamos $p^r$ es el más alto poder de $p$ que se divide $n$ (e $r\ge 1)$. Si los subgrupos de Sylow asociados con $p$ no son cíclicos, entonces no hay ningún elemento con el fin de $p^r$, y, por tanto, ningún elemento con el fin divisible por $p^r$ y el exponente es en la mayoría de las $\frac np$.

Por otro lado, si hay elementos $a_p$ orden $p^r$ todos los $p$ el exponente de un grupo no puede ser menor que el mínimo común múltiplo de sus pedidos, que es $n$.

Answer 2

Tercer intento. En general no. $\mathbb Z_2 \times \mathbb Z_2$ es la más sencilla es la excepción. Muchos de estos ejemplos. He intentado generalizar, pero he cometido errores. Creo que si $n = pq$ para el primer p y q. Entonces esto va a ser cierto que algunas elemento de g tiene orden p y sólo$g^{kp} = 1$, mientras que el otro h tendrá el fin de q y sólo$h^{jq} = 1$, por lo que la única $m$, de modo que $h^m = e = g^m$$n = pq = lcm(p,q)$.

Creo que para cualquier otro $n = p^im; i > 0$ será posible encontrar grupos de orden n donde: $g^{pm} = e$ para todos los elementos y por lo tanto esto no sería cierto. (Ex. $\prod_i \mathbb Z_p \times G'$ donde G es un subgrupo de orden m.)

(Por supuesto, usted también será capaz de encontrar grupos donde $n$ es el menor de esos números. [Ex. $\mathbb Z_n$])

Estoy seguro y espero que después de estar equivocado dos veces que esta es la correcta....

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Así que creo que en general, si $n = \prod p_i^{k_i}$ para los números primos $p_i$. Habrá grupos donde el menor número (llamado el exponente) es $\prod p_i^{j_i}$ todos los $0 \le j_i \le k_i$.

Al menos, yo realmente espero. Me he avergonzado de mí mismo lo suficiente como esta noche.