Isomorfismo entre álgebras de grupo

Question

Estoy empezando a estudiar álgebras de grupo y estoy atascado en el siguiente problema. La primera parte es fácil, pero la copio por si me sirve para demostrar la segunda parte. Este ejercicio está sacado de Representaciones de grupos por Lux y Pahlings.

Supongamos que $K$ es un campo con char $\neq 2$ que contiene una primitiva $4$ raíz de la unidad $i$ y que $\langle g \rangle = C_4$ . Poner $$a = \frac{1+i}{2}g+\frac{1-i}{2}g^3 \in KC_4$$ y $$b = \frac{1-i}{2}g+\frac{1+i}{2}g^3 \in KC_4.$$

(a) Demuestre que $\{1,g^2,a, b\} \subseteq KC_4$ es un subgrupo del grupo unitario de $KC_4$ isomorfo a $V_4 \cong C_2 \times C_2$ . (parte fácil)

(b) Demuestre que $KC_4 \cong KV_4$ como álgebras sobre $K$ .

Este es mi problema: No puedo encontrar un isomorfismo entre $KC_4$ y $KV_4$ . En realidad, no entiendo a priori cómo podrían ser isomórficos ya que $C_4 \ncong V_4$ como grupos.

Como segunda pregunta natural, -ya que supongo que debería existir realmente un isomorfismo después de todo- me pregunto: ¿son las hipótesis "char $K\neq 2$ y existe una raíz 4ª primitiva de la unidad en $K$ " necesario para obtener la parte (b)?

Creo que mi problema es en parte conceptual: no tengo ninguna intuición sobre cómo trabajar con álgebras de grupo. ¿Podríais darme pistas o ayudarme a tener una visión más clara sobre este tema?

Answer 1

Este es uno de esos casos en los que debes utilizar la parte (a) para demostrar la parte (b). Ten en cuenta que los cuatro elementos que has escrito son en realidad una base de $KC_4$ y que $\phi$ sea el isomorfismo entre el subgrupo del grupo unidad de $KC_4$ y $V_4$ . Puede definir un mapa de $KC_4$ a $KV_4$ por extensión lineal de $\phi$ y será multiplicativa y biyectiva (por dimensiones).

Si su intuición le dice que si $kG\cong kH$ implica $G\cong H$ , tienes que modificar tu intuición :) Toma dos grupos abelianos del mismo orden finito y $k=$ números complejos: entonces ambas álgebras de grupo son isomorfas a $\mathbb{C}^{|G|}$ como álgebras . Esto se puede demostrar con el teorema de Wedderburn sobre la estructura de las álgebras semisimples. Existen grupos no isomorfos cuyas álgebras de grupo son isomorfas sobre cada campo (hay un documento de Dade llamado Dos grupos finitos distintos con el mismo álgebra de grupo sobre cualquier campo MR0280610). Si $G$ y $H$ son $p$ -grupos, es un problema no resuelto determinar si $\mathbb{F}_pG \cong \mathbb{F}_pH$ implica $G \cong H$ . Esto se llama el "problema del isomorfismo modular", existe una gran literatura.

Cuando la característica es dos, las álgebras de grupo son realmente diferentes. Una es isomorfa a $k[x]/x^4$ el otro a $k[x,y]/(x^2, y^2)$ . El segundo de ellos no tiene un elemento nilpotente con tercera potencia distinta de cero mientras que el primero sí.

Answer 2

La respuesta de mt cubre los puntos importantes, pero permítanme ampliar un poco. Sobre el campo complejo (o cualquier campo algebraicamente cerrado de característica cero, o incluso de característica coprima al orden del grupo), el álgebra de grupo de un grupo finito $G$ es particularmente fácil de entender como un álgebra. Tenemos $\mathbb{C}G \cong M_{n_1}(\mathbb{C}) \oplus \ldots \oplus M_{n_k}(\mathbb{C}),$ donde los grados de los caracteres complejos irreducibles de $G$ son $n_1,n_2, \ldots,n_k$ (multiplicidades incluidas). Por lo tanto, para los grupos finitos $G$ y $H$ tenemos $\mathbb{C}G \cong \mathbb{C}H$ si y sólo si los grados de los caracteres complejos irreducibles de $G$ y $H$ son los mismos. Ahora bien, un carácter complejo irreducible de un grupo grupo abeliano finito tiene grado $1$ (por el lema de Schur, por ejemplo). Por lo tanto, se deduce que si $G$ y $H$ son grupos abelianos finitos del mismo orden, entonces $\mathbb{C}G \cong \mathbb{C}H$ . Otro ejemplo de grupos con grados de caracteres complejos irreducibles iguales ocurre cuando $G = D_{8}$ y $H = Q_{8}$ (respectivamente, el grupo diedro de orden $8$ y el grupo de cuaterniones de orden $8$ ). Cada uno de ellos tiene cuatro caracteres irreducibles de grado $1$ y un carácter irreducible de grado $2$ . Por lo tanto, tenemos $\mathbb{C}G \cong \mathbb{C}H$ también en este caso. He elegido trabajar sobre el campo complejo para facilitar la exposición, pero la teoría es muy parecida sobre cualquier campo de característica coprima al orden $n$ de los grupos en cuestión que contiene (digamos) una primitiva $n$ -raíz de la unidad.