comprensión de la definición clásica de la función de Green

Question

Yo aprender la definición clásica de la función de Green de los cazadores del Análisis Aplicado.

Considerar el segundo orden ordinario de los operadores diferenciales $A$ de la forma $$Au=au''+bu'+cu,$$ donde $a,b$ $c$ son lo suficientemente suaves funciones en $[0,1]$.

Pensar sobre el valor en la frontera de Dirichlet problema para los de segundo orden diferencial operador $A$ definido anteriormente: $$Au=f,\qquad u(0)=u(1)=0,\qquad \tag{10.9}$$ donde $f:[0,1]\to{\mathbb C}$ es una determinada función continua.

El autor le da una heurística de discusión usando la función delta de Dirac: la función de Green $g(x,y)$ asociado con el problema de valor de frontera en (10.9) es la solución del siguiente problema: $$Ag(x,y)=\delta(x-y),\qquad g(0,y)=g(1,y)=0.\qquad \tag{10.13}$$ Él reformula $(10.13)$ en clásicos, pointwise términos. El libro dice que queramos $g(x,y)$ a satisfacer la homogeneidad de educación a distancia(como una función de la $x$)$x\neq y$, y queremos que el salto en la $a(x)g_x(x,y)$ través $x=y$ a igual a uno con el fin de obtener una función delta después de tomar un segundo $x$derivados. Por lo tanto hacemos la siguiente definición:†

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† Una función de $g:[0,1]\times[0,1]\to{\mathbb C}$ es una función de Green para (10.9) si satisface las siguientes condiciones.

(a) La función de $g(x,y)$ es continua en el cuadrado de $0\leq x,y\leq 1$, y dos veces continuamente diferenciable con respecto a $x$ en los triángulos $0\leq x\leq y\leq 1$$0\leq y\leq x\leq 1$, lo que significa que las derivadas parciales existen en los interiores de los triángulos y se extienden a funciones continuas en los cierres. La izquierda y la derecha de los límites de las derivadas parciales en a $x=y$ no son iguales, sin embargo.

(b) La función de $g(x,y)$ satisface la educación a distancia con respecto a $x$ y las condiciones de contorno: $$\begin{align} Ag=0\qquad \text{in}~0<x<y<1~\text{and}~0<y<x<1,\\ g(0,y)=g(1,y)=0\qquad\text{for}~0\leq y\leq 1. \end{align} $$ (c) el salto en La $g_x$ a través de la línea de $x=y$ está dado por $$g_x(y^+,y)-g_x(y^-,y)=\frac{1}{a(y)}$$ donde el subíndice $x$ denota una derivada parcial con respecto a la primera variable en $g(x,y)$, y $$g_x(y^+,y)=\lim_{x\to y^+}g_x(x,y),\qquad g_x(y^-,y)=\lim_{x\to y^-}g_x(x,y).$$

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Las palabras en negrita---

...queremos que el salto en la $a(x)g_x(x,y)$ través $x=y$ a igual a uno con el fin de obtener una función delta después de tomar un segundo $x$-derivados

vea la condición (c) en la definición anterior.

Aquí está mi pregunta:

¿Cómo se puede conseguir $Ag(x,y)=\delta(x-y)$ de $$g_x(y^+,y)-g_x(y^-,y)=\frac{1}{a(y)}?$$ Añadió:

La confusión es que no sé el significado de las palabras en negrita significa. Por último, queremos $$Ag(x,y)=\delta(x-y),$$ but what's the relation between "taking a second $x$-derivative" of $a(x)g_x(x,y)$ and $Ag(x,y)$?

Answer 1

Deje $f:(a,b]\to\mathbb{R}$ $g:[b,c)\to\mathbb{R}$ $C^1$- funciones. La derivada de $F:(a,c)\to\mathbb{R}$ definido por $$F(x):=\begin{cases}f(x) & x<b \cr g(x) & x>b\end{cases}$$ es igual a $\tilde F + (g(b)-f(b))\delta_b$ donde $\tilde F$ es la clásica derivados $$\tilde F(x):=\begin{cases}f'(x) & x<b \cr g'(x) & x>b\end{cases}$$ en la distribución sentido. En otras palabras, si una función tiene un salto, entonces su derivada es un delta de distribución que las medidas de la altura del salto (además de la clásica derivados).

Véase también mi respuesta a esta pregunta para obtener una rápida visión general sobre las distribuciones, y lo que significa para una función de una distribución o una medida como sus derivados (nota de que el delta de distribución es de hecho una medida).

Edit: Aquí está una heurística razón de por qué esto es cierto. La función de $F$ es definida a trozos por $f$ en el lado izquierdo de $b$ $g$ en el lado derecho de la $b$ (el valor en $b$ precisamente no es importante, usted puede pensar de la función como un gráfico que tiene una línea vertical en $b$), pero las dos piezas que no encajan en $b$. ¿Qué podría el derivado de la $F$ razonablemente? Si simplemente ignorar la discontinuidad en el $b$ y diferenciar $f$ $g$ por separado, consigue $\tilde F$, pero se ve que no es un buen candidato para un derivado tan pronto como se prueba el teorema fundamental del cálculo: Supongamos $x\in (a,b)$$y\in (b,c)$, luego $$\int_x ^y \tilde F(t) dt=\int_x ^b f'(t) dt + \int_b ^y g'(t) dt=f(b)-f(x)+g(y)-g(b)$$ cuando debería ser $g(y)-f(x)$. Así que estamos fuera por $g(b)-f(b)$ que es la altura del salto, así que corregirlo mediante la adición de este número de veces $\delta_b$. $\delta_b$ tiene la propiedad de que es cero fuera de $b$, y $$\int_x ^y \delta_b(t)=1$$ Por supuesto, esta función no existe, por eso es heurístico. Haciendo de este riguroso requiere la teoría de distribuciones.