Calcula

Question

¿Puede alguien darme una mano en este límite doble? ¿Afecta el orden de los límites el resultado?

$$\lim{x\to 1^+} \lim{n\to\infty}\frac{\ln(n!)}{n^x}) $$

Demostró que el interior de los límites es inferior a la siguiente expresión: $$ \frac{\ln(n)}{{n^{x-1}}} $ $

Gracias de antemano :)

Answer 1

SUGERENCIA:

Tenga en cuenta que desde $\log(n!)=\sum{k=1}^n \log(k)=\sum{k=1}^n \log(k/n)+n\log(n)$, tenemos

$$\frac1{n^x}\log(n!)=\frac{1}{n^{x-1}}\underbrace{\left(\frac1n\sum{k=1}^n \log(k/n)\right)}{\text{Riemann Sum of}\,\int_0^1 \log(x)\,dx=-1}+\frac{\log(n)}{n^{x-1}}$$

Answer 2

Como $n\to \infty,$ $\ln n! \sim n\ln n,$ por lo tanto

$$\frac{\ln n!}{n^x}\sim \frac{\ln n}{n^{x-1}}.$$

El límite de la expresión de la derecha es $0$ $x>1,$ y es $\infty$ $x\le 1.$ así su límite como $x\to1^+$ $0.$

Answer 3

Tenga en cuenta que para la convexidad

$$0 \le \frac{\ln n!}{n^x}\leq \frac{n}{n^x}\frac{\sum{k=1}^{n}\ln k}{n}\le\frac{1}{n^{x-1}}\ln\left({\frac{\sum{k=1}^nk}{n}}\right)=\frac{\ln \left(\frac{n+1}2{}\right)}{n^{x-1}}\to0 \quad \forall x>1$$

así, por Teorema del apretón

$$\lim{x\to 1^+} \lim{n\to\infty}\frac{\ln n!}{n^x}=0$$

Answer 4

Con fijo $x>1$ $ de #% de #% y usando el Teorema de Stolz-Cesàro $$(n+1)^x-n^x=\int{n}^{n+1}xt^{x-1}dt>n^{x-1}$ $then $$\lim{n\to\infty}\frac{\ln(n!)}{n^x}=\lim_{n\to\infty}\frac{\ln(n+1)}{(n+1)^x-n^x}