Producto de Gammas

Question

Estoy atascado y publico esto por desesperación. ¿Existe una aproximación al siguiente producto de funciones Gamma? $$\sum_{h=0}^{M}\frac{1}{\Gamma(h+1)\Gamma(M-h+1)}\frac{\Gamma(N-hd)}{\Gamma(-hd)}$$

donde $d$ es un número de valor real, $N$ y $M$ son números enteros que crecen hasta un número grande (ni siquiera cerca de $\infty$ sin embargo), y $N>M$ .

Nota : Ya he intentado sustituir la relación gamma utilizando la aproximación de Stirling, pero requiere añadir dos más $\Gamma$ términos: $\frac{\Gamma(N-hd)}{\Gamma(-hd)}\Rightarrow \frac{\Gamma(N-hd)}{\Gamma(N)}\frac{\Gamma(N)}{\Gamma(-hd)}\approx\frac{1}{N^{hd}}\frac{\Gamma(N)}{\Gamma(-hd)}$ mientras se sustituye la relación de términos gamma por esta aproximación.

Answer 1

Dejando de lado los problemas de convergencia por el momento, la suma puede escribirse como $$ \frac{1}{\Gamma(-N)}\sum_{h=0}^{M}\frac{B(-N,N-hd)}{h!(M-h)!}=\frac{1}{M!\Gamma(-N)}\int_{0}^{1}\sum_{h=0}^{M}\binom{M}{h}x^{N-hd-1}(1-x)^{-N-1}\,dx $$ que por el teorema del binomio es igual a $$ \frac{1}{\Gamma(M+1)\Gamma(-N)}\int_{0}^{1}\frac{x^{N-1}}{(1-x)^{N+1}}(1+x^{-d})^M\,dx $$ o $$\boxed{\frac{1}{\Gamma(M+1)\Gamma(-N)}\int_{1}^{+\infty}\frac{(1+x^d)^M}{(x-1)^{N+1}}\,dx} $$ Si $d=1$ que se reduce a $-\frac{2^{M-N}\Gamma(N-M)\sin(M\pi)}{\pi}.$
En caso contrario, se trata de funciones hipergeométricas.