Estoy leyendo este papel
hay una parte integral en la que
$$\iint_{D} \frac{\mathrm{d}\bar{z}\mathrm{d}z}{z-\zeta} = - 2{\pi}i{\bar{\zeta}} $$ where $D$ is a disc of radius R and $\zeta$ is a point in $D$.
Escribo la izquierda en la definición
deje $\zeta = a+ i b$
$$\begin{align}\iint_{D} \left(\frac{\mathrm{d}\bar{z}\mathrm{d}z}{z-\zeta} \right) &=2i \iint_{D}\frac{\mathrm{d}x\mathrm{d}y}{(x+iy)-(a+ib)} \\&=2 \iint_{D}\frac{(y-b)\mathrm{d}x\mathrm{d}y}{(x-a)^2+(y-b)^2} +2i\iint_{D}\frac{(x-a)\mathrm{d}x\mathrm{d}y}{(x-a)^2+(y-b)^2} \end{align}$$
entonces debe ser $$\iint_{D}\frac{(x-a)\mathrm{d}x\mathrm{d}y}{(x-a)^2+(y-b)^2}=-{\pi}a$$
usando coordenadas polares para sustituir
$$\begin{align}\iint_{D}\left(\frac{(x-a)\mathrm{d}x\mathrm{d}y}{(x-a)^2+(y-b)^2}\right)&= \int^R_0\mathrm{d}r\int^{\pi}_{-\pi}\left(\frac{r(r\cos\theta -a)}{(r\cos\theta-a)^2+(r\sin\theta - b)^2}\mathrm{d}\theta \right)\end{align}$$
$$=\iint\frac{(r(\cos^2(\theta/2)-\sin^2(\theta/2))-a(\cos^2(\theta/2)+\sin^2(\theta/2)))\mathrm{d}\theta\mathrm{d}r}{(r^2+a^2+b^2)(\cos^2(\theta/2)+\sin^2(\theta/2))-2ra(\cos^2(\theta/2)-\sin^2(\theta/2)) -4rb\sin(\theta/2)\cos(\theta/2)}\overset{\tan(\theta/2)=t}{=}\int^R_02r\mathrm{d}r\int^{+\infty}_{-\infty}\frac{r(1-t^2)-a(1+t^2)}{((r^2+a^2+b^2(1+t^2)-2ra(1-t^2)-4rbt))(1+t^2)}\mathrm{d}t $$
y no sé cómo continuar.
hice algo mal ?
y yo creo que el autor utiliza un lenguaje complejo para su comodidad
tengo que calcular en real es el camino equivocado, pero no sé cómo hacerlo en el complejo.
gracias!
