Encontrar la curvatura de la superficie de Gauss

Question

Considere la posibilidad de la superficie de la $S=F(\mathbb{R}^2)$ donde $F:\mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^3$ está definido por $$(r, \varphi) \mapsto ( r \cos \varphi, r \sin \varphi, \varphi).$$

Me gustaría encontrar la curvatura de Gauss de $S$.

Se define la curvatura de Gauss de $S$ en el punto de $p$ $\det(W_p)$ donde $W_p: T_p S \to T_p S$ es el Weingarten-mapa definido por $W_p: X\mapsto - d_p N(X)$. Aquí $N: S \to \mathbb{R}^3$ asigna a cada una de las $p\in S$ un vector $N(p)$ que es ortogonal en el espacio tangenciales $T_p S$.

Trabajar con esta definición parece terriblemente complicado. ¿Cómo puedo encontrar el mapa de $N$ ?

Hay una manera mejor de hacer esto?

Answer 1

Trabajo a nivel local. Llame a ${\bf x}(r, \varphi) = (r \cos \varphi, r \sin \varphi, \varphi)$, y escribir ${\bf p} = {\bf x}(r,\varphi)$. Una forma es la informática: $${\bf N}(r, \varphi) = \frac{\frac{\partial {\bf x}}{\partial r}\times \frac{\partial {\bf x}}{\partial \varphi}(r,\varphi)}{\left\|\frac{\partial {\bf x}}{\partial r}\times \frac{\partial {\bf x}}{\partial \varphi}(r,\varphi)\right\|}.$$

A partir de ahora voy a soltar el par $(r,\varphi)$ de las cosas y voy a abreviate derivadas parciales. Vamos a: $$E = \langle {\bf x}_{r},{\bf x}_r\rangle,\quad F = \langle {\bf x}_r,{\bf x}_\varphi\rangle, \quad G = \langle {\bf x}_\varphi,{\bf x}_{\varphi}\rangle.$$

También escribe: $$e = \langle {\bf N},{\bf x}_{rr}\rangle, \quad f = \langle {\bf N},{\bf x}_{r\varphi}\rangle, \quad g = \langle {\bf N},{\bf x}_{\varphi\varphi}\rangle.$$

Tenemos que la siguiente se tiene: $$e = \langle -{\rm d}_{\bf p}{\bf N}({\bf x}_r),{\bf x}_r\rangle, \quad f = \langle -{\rm d}_{\bf p}{\bf N}({\bf x}_r),{\bf x}_\varphi\rangle = \langle -{\rm d}_{\bf p}{\bf N}({\bf x}_\varphi),{\bf x}_r\rangle,\quad g = \langle -{\rm d}_{\bf p}{\bf N}({\bf x}_\varphi),{\bf x}_\varphi\rangle.$$

Escribir la matriz de $-{\rm d}_{\bf p}{\bf N}$ en la base $\{{\bf x}_r,{\bf x}_\varphi \}$: $$\begin{cases} -{\rm d}_{\bf p}{\bf N}({\bf x}_r) &= a_{11}{\bf x}_r + a_{12}{\bf x}_\varphi \\ -{\rm d}_{\bf p}{\bf N}({\bf x}_\varphi) &= a_{21}{\bf x}_r+a_{22}{\bf x}_\varphi\end{cases} \implies [-{\rm d}_{\bf p}{\bf N}] = (a_{ij})_{1\leq i,j\leq 2}$$

La aplicación de $\langle \cdot, {\bf x}_r\rangle$ $\langle \cdot, {\bf x}_\varphi \rangle$ a la anterior, obtenemos: $$\begin{cases} e &= Ea_{11}+Fa_{12} \\ f &= Ea_{21}+Fa_{22}\end{cases}\quad \text{and}\quad \begin{cases} f &= Fa_{11}+Ga_{12} \\ g &= Fa_{12}+Ga_{22}\end{cases},$$ which we can read as: $$\begin{pmatrix} e & f \\ f & g\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} E & F \\ F & G\end{pmatrix}\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22}\end{pmatrix}.$$ Hence: $$\begin{align}\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22}\end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} E & F \\ F & G\end{pmatrix}^{-1}\begin{pmatrix} e & f \\ f & g\end{pmatrix}\\ \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22}\end{pmatrix} &= \frac{1}{EG-F^2} \begin{pmatrix}G & -F \\ -F & E\end{pmatrix}\begin{pmatrix} e & f \\ f & g\end{pmatrix}\end{align}.$$

Desde $K = \det(a_{ij})$, se obtiene: $$K = \frac{eg-f^2}{EG-F^2}.$$ Bonus: ya que usted probablemente ha definido $H = \frac{1}{2}{\rm trace}(-{\rm d}_{\bf p}{\bf N})$, obtenemos: $$H = \frac{1}{2}\frac{eG+Eg-2fF}{EG-F^2}.$$

Ahora solo tenemos que aplicar las fórmulas. Si se utiliza la primera de las expresiones para $e,f,g$ que le dije a usted, usted puede evitar computing $-{\rm d}_{\bf p}{\bf N}$ directamente. Me tomé el tiempo para hacer todos estos cálculos porque no quería sólo para tirar de ellos en su cara, pero eso es todo: una vez que sabes esto, se convierte en algo mecánico. Usted puede ver esto en Do Carmo del libro, también.

Answer 2

$\frac{\partial}{\partial r}=(\cos\phi,\sin\phi,0)$,$\frac{\partial}{\partial \phi}=(-r\sin\phi,r\cos\phi,1)$, entonces$E=1, F=0, G=r^2+1$, conéctelo a$$K = -\frac{1}{2\sqrt{EG}}\left(\frac{\partial}{\partial u}\frac{G_u}{\sqrt{EG}} + \frac{\partial}{\partial v}\frac{E_v}{\sqrt{EG}}\right).$$ where $ u = r, v = \ phi$ we got $$K = -\frac{1}{2\sqrt{1+r^2}}\left(\frac{d}{d r}\frac{2r}{\sqrt{1+r^2}}\right)=-\frac{1}{(1+r^2)^2}.$ $

Answer 3

Este bien conocido teorema de Gauss está bien explicado en los libros de texto de geometría diferencial, no lo repetiré aquí. Comenzando como lo hizo, siga cómo posteriormente$K$ se calcula en términos de coeficientes de segundo (numerador L, N y M) y primero (denominador E, F y G) formas fundamentales de la teoría de superficie. Tenga en cuenta que$L N -M^2$ depende solo del primer formulario fundamental.

ps

Puede aplicar esta relación para encontrar$$K = \frac{LN -M^2}{EG-F^2}.$ del helicoide dado.