Cambiar el colector, preservando el espectro discreto

Question

En una de Riemann colector $M$, el operador de Laplace $L$ está definida de forma única.

Si $M$ no es compacto, entonces $L$ admite un espectro continuo.

Hay una manera de "cambiar" $M$ y/o $L$ en decir $M'$$L'$, de tal manera que el espectro de $L'$ ahora es puramente discretos y contiene el espectro de $L$? Estoy interesado en los ejemplos de este tipo.

Siéntase libre de restringir homogénea de variedades o en cualquier otro geométricas gadget, si tienen un ejemplo de similar naturaleza en la mente.

Motivación: la Más general, es cierto que, dado un auto adjunto del operador $T$ sobre un espacio de Hilbert, no existe una descomposición tal que $T_1 + T_2 = T$ donde $T_1$ tiene el mismo punto de espectro como $T$. Yo no estoy en busca de este. Existe una mejor construcción geométrica?

Answer 1

Seguramente que habría extraordinarias consecuencias si fuera verdad.

Vamos a considerar el caso en que $M$ es un hiperbólico superficie de Riemann, y asumir la aritmética si no compacta. A continuación, el término principal en Weyl las leyes para el espectro discreto no dependen de ser cerrado o tener cúspides, sólo el volumen, sino el siguiente término en el resto no. El espectro discreto crece más rápido en la presencia de cúspides, así que uno no puede esperar para pasar de una media aritmética de la superficie con cúspides a una superficie compacta, con el mismo espectro discreto. Véase, por ejemplo, M\"uller la ponencia: "la ley de Weyl en la teoría de la automorphic formas."

El trabajo de Phillips, Sarnak y otros, indica que el discreta del espectro varía enormemente en virtud de las perturbaciones, y parece bastante improbable que (al menos para mí), que el fenómeno está buscando cada vez se produce (o al menos no son más frecuentes que los casos de isopectral colectores).

Por cierto, Phillips-Sarnak sugiere que para que un general no aritmética colector con cúspides, la discreta del espectro finito, en contraste con el caso de un compacto de colector. No tengo la intuición, en este caso, si un espectro que puede ser contenida en el espectro de un colector compacto, pero tampoco es claro para mí cómo útil saber esto sería.

Answer 2

Otro tipo de "ajuste" es como en Colin-de-Verdiere 1981 tratamiento de meromorphic continuación de Eisenstein de la serie (al menos para el rango de uno?): él sustituye la habitual Laplaciano (que es esencialmente auto-adjuntos) por un pseudo-Laplaciano creado como mínimo ("Friedrichs") la extensión de la restricción de la Laplaciano a automorphic formas cuya constante de términos desaparecer por encima de una altura fija. Una variante del argumento que discreto de cuspforms demuestra que este pseudo-Laplaciano tiene un pacto resolvent, por lo tanto, discreta del espectro. El cuspforms permanecer funciones propias, las constantes dejar de ser funciones propias porque no están en el espacio, y ciertos trunca Eisenstein serie convertirse en auténticas funciones propias de la pseudo-Laplaciano (en lugar de fallar a ser funciones propias para el ordinario de Laplace).

Edit: y en relación a algunos aspectos de @Kimball puntos, específicamente (en cuanto a los detalles de C-de-V discusión), el truncado de Eisenstein de la serie son esencialmente aquellos cuya trunca término constante es todavía continua, que es, a fin de que, a la altura de la $y_o$, en el caso más simple, la condición para que el truncamiento $\wedge^{y_o} E_s$ a ser una "nueva" eigenfunction es que $y_o^s+c_s y_o^{1-s}=0$ donde $c_s=\xi(2s-1)/\xi(2s)$. Por lo tanto, estándar (si no trivial) los datos acerca de zeta (y un refinado Weyl la Ley para cuspforms?) todavía asegurar que las "nuevas" funciones propias son asintóticamente menos, cuantificable.