¿Cuántos elementos idempotentes tiene el anillo ${\bf Z}_n$ ¿contiene?

Question

Dejemos que $R$ sea un anillo. Un elemento $x$ en $R$ se dice que idempotente si $x^2=x$ . Para un $n\in{\bf Z}_+$ que no es muy grande, digamos, $n=20$ se puede calcular uno por uno para encontrar que hay cuatro elementos idempotentes: $x=0,1,5,16$ . Así que esta es mi pregunta:

¿Existe un resultado general que indique el número de elementos idempotentes de ${\bf Z}_n$ ?

Answer 1

Si $n=p_1^{m_1}\cdots p_k^{m_k}$ es la factorización de $n$ como producto de potencias de primos distintos, entonces el anillo $\mathbb Z/n\mathbb Z$ es isomorfo al producto $\mathbb Z/p_1^{m_1}\mathbb Z\times\cdots\times \mathbb Z/p_k^{m_k}\mathbb Z$ . Es fácil reducir el problema de contar elementos idempotentes en este producto directo a contarlos en cada factor.

¿Puedes hacerlo?

Answer 2

En $\Bbb{Z}_n$ la relación $x^2=x$ equivale a $(x-1)x\equiv 0 ( mod \ n)$ Es decir $n | x(x-1)$ . Esta es una manera fácil de calcular todos los elementos idempotentes para pequeños $n$ . En general, hay que considerar la factorización de $n$ en factores primos y observe que $x,x-1$ son coprimos, y si un número primo divide a uno de ellos, no puede dividir al otro.

Answer 3

Sugerencia $ $ Idempotentes en $\,\mathbb Z/n\,$ corresponden a factorizaciones coprimas de $\,n\,$ es decir $\, n = a\:\!b,\ (a,b) = 1\,.\ $ De hecho, observe que $\,p^k\mid e(e-1)\iff p^k\ |\ e\,$ o $\,p^k\ |\ e-1.\,$ Es es fácil ver que hay $\, 2^k\,$ tales factorizaciones, donde $\,k\,$ es el número de factores primos distintos de $\, n.$

Answer 4

$n\geq 1$ sea un número entero y consideremos el anillo $R=\mathbb{Z}/\mathbb{Z}_{n}$ . En primer lugar, podemos ver que el número de todos los elementos idempotentes de $R$ es $2^m$ , donde $m$ es el número de divisores primos distintos de $n$ .

$\textbf{Proof:} $ Dejemos que $n=\prod\limits_{i=1}^{n} p_{i}n^{i}$ sea la factorización en primo de $n$ y $R_{i}=\mathbb{Z}/p_{i}^{n_{i}}$ . Por el teorema chino del resto tenemos $R\cong R_{1}$ x $\cdots$ x $R_{m}$ , digamos que $(1)$ .

$\textbf{Claim:} $ Si $p$ es un primo y $l>0$ es un número entero, entonces el único elemento idempotente de $\mathbb{Z}/p^{l}\mathbb{Z}$ son $0$ y $1$ .

$\textbf{Proof:} $ Así que queremos demostrar que el módulo $p^{l}$ la ecuación $x^{2}\equiv x$ (mod $p^{l})$ sólo tiene dos soluciones triviales $x=0,1$ . Supongamos que $x\neq 0$ es una solución de $x^{2}\equiv x$ (mod $p^{l})$ . Demostraremos que $x\equiv 1$ (mod $p^{l})$ .

Dejemos que $x=p^{r}s$ , donde $0\leq r<1$ y gcd( $s, p)=1$ . Entonces $s(p^{r}s-1)\equiv 0$ (mod $p^{l-r})$ que nos dan $p^{r}s\equiv 1$ (mod $p^{l-r})$ . Así, $r=0$ y por lo tanto $x\equiv s\equiv 1$ (mod $p^{l})$ . Queda claro ahora, a partir de (1) y de la afirmación, que el número de idempotentes del anillo $R=\mathbb{Z}/\mathbb{Z}_{n}$ es $2^{m}$ .

Ahora podemos resolver cualquier pregunta para $\mathbb{Z}/\mathbb{Z}_{n}$ .

Por lo anterior $R=\mathbb{Z}/\mathbb{Z}_{20}$ sabemos que $R$ tiene $4$ idempotentes, está claro que dos de ellos son $0, 1$ (mod $20$ ). Sea $R_{1}=\mathbb{Z}/\mathbb{Z}_{4}$ , $R_{2}=\mathbb{Z}/\mathbb{Z}_{5}$ . Entonces $R\cong R_{1}$ x $R_{2}$ . Todos los idempotentes de $R_{1}$ x $R_{2}$ son $(0, 0)$ , $(1, 0)$ , $(0, 1)$ , $(1, 1)$ .

Así que sólo tenemos que encontrar la preimagen de cada idempotente en $R$ . Obviamente, las preimágenes de $(0, 0)$ y $(1, 1)$ son $0$ y $1$ (mod $20$ ) respectivamente. Ahora encontremos la preimagen de, por ejemplo $b=(0, 1)$ . Sea $a=m+20\mathbb{Z}$ sea la preimagen de $b$ . Entonces la imagen de $a$ es $(m+4\mathbb{Z}, m+5\mathbb{Z})=b=(4\mathbb{Z}, 1+5\mathbb{Z})$ . Así que $m$ divisible por $4$ y es equivalente a $1$ (mod $5$ ). De ello se desprende que $a=16+20\mathbb{Z}$ . Del mismo modo, podemos encontrar otro idempotente 5 que sea preimagen de $(1,0)$ .

Answer 5

Dejemos que $m=p^{c_{1}}_{1}...p^{c_{n}}_{n}$ sea una factorización prima de un número entero $m$ con $c_{i}\geq1$ y $p_{i}$ son números primos distintos. Entonces el anillo $\mathbb{Z}/m\mathbb{Z}$ tiene $2^{n}$ idempotentes y (modulo $m$ ) son precisamente de la forma $\sum\limits_{k=1}^{n}h_{k}\epsilon_{k}$ donde $\epsilon_{k}\in\{0,1\}$ y $h_{k}\in(\prod\limits_{\substack{i=1,\\ i\neq k}}^{n}p^{c_{i}}_{i})\mathbb{Z}$ tal que $h_{k}-1\in p^{c_{k}}_{k}\mathbb{Z}$ .